¿Como puedo resolver este problema de calculo y derivada?

Por un teorema se sabe que para funciones en una sola variable ... Una función es diferenciable (en cierto punto x = a, donde la función está definida al menos en el entorno de x = a) sí y solo sí es derivable (en el punto x = a). Por ello para probar que la susodicha función es diferenciable solo bastará demostrar la existencia del siguiente límite

$$\begin{align}&L=\lim\limits_{p\to 0}\dfrac{f(x+p)-f(x)}{p}\\&\\&\\&\texttt{Haciendo cálculos...}\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x+p}{n(n+x+p)}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x}{n(n+x)}}{p}\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x+p}{n(n+x+p)}-\dfrac{x}{n(n+x)}}{p}\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n}\left[\dfrac{x+p}{n+x+p}-\dfrac{x}{n+x}\right]}{p}\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{np}\left[1-\dfrac{n}{n+x+p}-1+\dfrac{n}{n+x}\right]\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{np}\left[\dfrac{n}{n+x}-\dfrac{n}{n+x+p}\right]\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{p}\left[\dfrac{1}{n+x}-\dfrac{1}{n+x+p}\right]\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{p}\left[\dfrac{p}{(n+x)(n+x+p)}\right]\\&\\&L=\lim\limits_{p\to 0}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n+x)(n+x+p)}\\&\\&L=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{p\to 0}\dfrac{1}{(n+x)(n+x+p)}\\&\\&\boxed{L=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n+x)^2}}\end{align}$$

L es la derivada de la función f en el punto x