Teorema de la conservación de la energía mecánica y sus aplicaciones:
En la montaña rusa de la figura, el punto más alto está a una altura de h m 184, mientras que el radio de la circunferencia es de R m 89. Desprecie la fricción para todos sus cálculos para:
- Determinar el valor de la velocidad que tendrá el vagón en el Punto Máximo de la circunferencia, si se deja caer desde la Posición Inicial.
- ¿Cuál es el máximo radio R que podría tener el círculo, de manera que el vagón aún pueda llegar a la posición Fin?
- ¿Cuál es la mínima altura h requerida para que el vagón pueda llegar a la posición Fin? NOTA: (Las posiciones clave son marcadas con las flechas)
1 respuesta
Si se deja caer desde la posicion inicial ( altura H= 184 metros) ... y no hay roce en ninguna parte del recorrido... La velocidad de llegada a la base del looping serias;
Vo = (2gH)^1/2 =( 2 x 9.80 x 184) = 60 m/seg.
Planteando la ecuación de fuerzas en la cúspide del looping y suponiendo que el peso se equilibre exactamente con la Reacción a la fuerza centrípeta tendrías:
Reaccion a la fuerza centrípeta = Peso de la vagoneta.
m V1^2 /Radio = m g ………………V1= (Rg)^1/2 = 29.53 m/s que x seria la velocidad minima necesaria al llegar a la parte mas alta.
1)… ¿Cuál es el máximo radio R que podría tener el círculo, de manera que el vagón aún pueda llegar a la posición Fin?...
Considerando lo anterior …Planteas Energías desde el inicio del looping:
E.P. inicial = 0 ………………..E.C. inicial= mgH
E.P. final( arriba) = mg ( 2R) ………E.C. final ( arriba) =
mgH = 2 mgR + ½ m V1^2 ………gH = 2gR + 0.5 V1^2 ………
Reemplazas en los valores dato y la V1 ………….llegas a R(max) = 69.75 metros. ( Para radios mayores se desprende del riel).
2) ¿Cuál es la mínima altura h requerida para que el vagón pueda llegar a la posición FIN?...
Planteas igual que antes…pero para el radio original = 89 metros.
mgH2 = 2mg x 89 + 0.5 m (g 89) ……….9.8 x H2 = 1744.4 + 436.1 = 2180.5 ………….H2= 222.5 metros.
¡Gracias! Me salvaste la vida. No lograba entender
Me dicen en la Universidad que no está bien el desarrollo del ejercicio ;( No entiendo porque
En esos casos obtené la solución y participala al foro. Tal vez interpretamos de otra manera los puntos del problema...
Me dicen que se debe hallar los tres puntos (1,2 y 3 )mediante el Teorema de conservación de la energía.
∆K=∆U
Kf-Ki=-Uf+Ui
Perdón es
∆K=-∆U
Punto 1 :
∆K=-∆U Kf-Ki=Uf+Ui
Velocidad inicial =0
Ec inicial =0
Hallar la velocidad final del sistema de (Kf)
Posición final 2 veces el radio:
Punto 2:
∆K=-∆U
Kf-Ki=Uf+Ui
Sugieren que : Se debe analizar desde punto máximo del circulo hasta su final que corresponde a una horizontal h=0 , de debe tener en cuenta que para que el carro llegue al final del recorrido la velocidad en el punto máximo es igual= 0,
EC final = Ep inicial (Punto 1)=mgh
El punto 3: Se halla de acuerdo al resultado del punto 2
Te lo resuelvo nuevamente aplicando conceptos de Energia:
1) En principio y tomando como nivel de referencia la base de la circunferencia tendrías que... Si se deja caer desde la posicion inicial ( altura H= 184 metros) ... y no hay roce en ninguna parte del recorrido... La velocidad de llegada a la base del looping seria;
Vo = (2gH)^1/2 =( 2 x 9.80 x 1) = 60 m/seg. (Respuesta al punto 1)
Con esta velocidad remontaria la circunferencia para alcanzar la cúspide.
Ahora haces balance de energías:Vo = velocidad con que toma el looping... V = velocidad con que debe llegar a la cúspide( seria velocidad mínima) para no desprenderse de los rieles.
Planteando las fuerzas en la cúspide del looping y suponiendo que el peso se equilibre exactamente con la Reacción a la fuerza centrípeta tendrías:
Reaccion a la fuerza centrípeta = Peso de la vagoneta.................................
M V1^2 /Radio = m g ………………V= (Rg)^1/2 =29.5 m/s( que x seria la velocidad minima necesaria al llegar a la parte mas alta de la circunferencia. Si es menor se desprende.
Relaciones de Energia Mecanica:/
1/2 m Vo^2 = E.M. con que comienza el looping = E.C. + E.P. en la cuspide.
1/2 m Vo^2 = 1/2 m V^2 + mg( 2R) ......Vo^2 = V^2 + 4 gR .......Vo= (V^2 + 4 gR )^1/2 = (27.3^2 + 39.2 x 76)^1/2 = 66 m/s.
Esta velocidad ( 66 m/s) resultaría mayor que la velocidad real con que la vagoneta toma el looping ...(que era de 60 m/)... con lo cual la vagoneta se desprenderá de la pista antes de alcanzar la cúspide.
2)… ¿Cuál es el máximo radio R que podría tener el círculo, de manera que el vagón aún pueda llegar a la posición Fin?...
El valor máximo del radio del circulo para que complete el looping debería ajustarse a:
..Vo^2 = gRmax + 4 gRmax .......60^2 = 5 g Rmax. .........Rmax.= 3600 / 5 x 9.80 = 73 metros.
3) ¿Cuál es la mínima altura h requerida para que el vagón pueda llegar a la posición FIN?... = Entiendo con el radio original = 89 metros.
Para completar el looping completo la velocidad minima de entrada debería ser de... 66 m/s..para lo cual:
E.P. de la vagoneta = m g H' = 1/2 m ( 66) ^2 .........Altura minima requerida= H' = 66^2 / 2 x 9.80 = 222 metros.
