Hallar el volumen del sólido limit cuya base es la región del plano xy acotado por y=4-x^2, y=3x; y cuyo techo es el plano z=x+4

;)
Hola Oscar!
La proyección en el plano XY:

son una recta y una parábola, que se cortan en:

$$\begin{align}&y=4-x^2\\&y=3x\\&igualando\\&4-x^2=3x\\&x^2+3x-4=0\\&\\&x_1=-4\\&x_2=1\\&\text{como la base es el plano XY}=> z=0\\&\text{y el techo el plano z=x+4}\\&\text{Tenemos que los límites de integración son}\\&0\leq z \leq x+4\\&\\&3x \leq y \leq4-x^2\\&\\&-4 \leq x \leq 1\\&\\&\text{Luego  el Volumen:}\\&\\&V=\int_{-4}^1  \int_{3x}^{4-x^2} \int_0^{x+4}dz\ dy \ dx=\\&\\&\int_{-4}^1  \int_{3x}^{4-x^2} \Bigg[ \int_0^{x+4}dz\Bigg] dy dx=\\&\\&\int_{-4}^1  \int_{3x}^{4-x^2} \Big[z\Big]_0^{x+4}\ \ dydx=\\&\\&\int_{-4}^1  \Bigg[\int_{3x}^{4-x^2} (x+4)dy\Bigg]dx=\\&\\&\int_{-4}^1  \Bigg[xy+4y \Bigg]_{3x}^{4-x^2}dx=\\&\\&\int_{-4}^1  \Bigg[x(4-x^2)+4(4-x^2)-(3x^2+12x)\Bigg]dx=\\&\\&\int_{-4}^1  \Big(4x-x^3+16-4x^2-3x^2-12x \Big) dx=\\&\\&\int_{-4}^1  \Big( -x^3-7x^2-8x+16 \Big) dx=\\&\\&\frac {625}{12}  \ \ \ u^3\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Saludos

;)

;)