Halle el area de la region limitada por las parabolas y=6x-x^2 y y=x^2-2x

Lo primero que debes hacer es ver donde se cortan ambas parábolas (que según puede verse, será solo en 2 puntos, encerrando una única región)

y_1 = x^2 - 2x

y_2 = 6x - x^2

Se cortarán donde ambas ecuaciones valgan lo mismo, dicho de otro modo donde

y_1 = y_2

x^2 - 2x = 6x - x^2

2x^2 - 8x = 0

2x (x - 4) = 0

O sea que se cruzan en x=0 , x=4

Se puede ver fácilmente que la función y_2 > y_1 en ese intervalo, así que planteamos

$$\begin{align}&Area = \int_0^4 y_2 - y_1 dx = \int_0^4 (6x - x^2) - (x^2-2x) dx = \\&\int_0^4 8x - 2x^2 dx\end{align}$$

 Te dejo la resolución de la integral, ya que es un polinomio así que no creo que tengas ningún inconveniente en resolverla (cualquier duda pregunta)

Salu2