¿Como resuelvo este problema de concentración de un medicamento usando integrales?

Interpreto que para hallar Ct debo integrar C'(t) respecto de dt:

C'(t)=[(-0.01e^-0.01t)/(e^-0.01t +1)^2]*dt;  reescribo:

C'(t)=[(-0.01e^-0.01t)/(e*e^-0.01t)^2]*dt;

CDV:  u=e^(-0.01t);  du=e^(-0.01t)* (-0.01)*dt;  dt=du/[e^(-0.01t)* (-0.01)]; 

C'(t) = du/ (e*u)^2;  o:  C'(t) = (1/e^2)* [u^(-2)*du];  integro:

C(t) = (1/e^2)* (-1/u) + A; 

(Usaré A como constante para no confundir con la concentración); devuelvo variable:

C(t) = (1/e^2)* [-1/e^(-0.01t)] + A;  o:  

C(t) = (1/e^2)* [-e^(0.01t)] + A;

Como a t(0):  C(0) = 0.5 mg/ml:

0.5 mg/ml = (-1/e^2) + A;  

A = 0.5 + (1/e^2);  A= 0.635 (mg/ml);

C(t) = (1/e^2)* [-e^(0.01t)] + (0.635) (mg/ml);

que corresponde a la primera consigna (A).

Para la segunda consigna (B), tenemos que poner el t en minutos:

Para 1 hora:  C(60) = (1/e^2)* [-e^(0.01*60)] + (0.635) (mg/ml);

Para 1 hora:  C(60) = (1/e^2)* [-e^(0.6)] + (0.635) (mg/ml);

C(60) = 0.388 mg/ml

Para 3 horas:  C(180) = (1/e^2)* [-e^(1.8] + (0.635) (mg/ml);

C(180) = -0.184 mg/ml; lo cual, al ser negativo, nos indica que, salvo error mío en la interpretación de C'(t), no es un modelo matemático correcto de lo que ocurre en la experiencia.

De todas maneras, para hallar el tiempo al que se llega a 0.05 mg/ml:

0.05 mg/ml = (1/e^2)* [-e^(0.01t)] + (0.635) (mg/ml);  despejamos t:

((ln {-[(0.05 - 0.635)*e^2] } )) / 0.01 = t (0.05 mg/ml);

t (0.05 mg/ml) = 146 minutos.

Comentario: Puede que el modelado y la interpretación sean correctas pero que exista una limitante para un valor máximo de t de aplicación de la fórmula, de la misma forma que existe: " para todo t>=0".