Determinar el centro, los vértices, los focos, la excentrincidad y el lado recto

;)

Te hago el 1)

El procedimiento se llama completar cuadrados.

Agrupamos por variables:

(x^2+8x)+4(y^2-4y)+28=0

Formamos los binomios y compensamos el término independiente:

(x+4)^2= x^2+8x+16

(y-2)^2=y^2-4y+4

luego la ecuación será:

(x+4)^2 -16 +4(y-2)^2-16+28=0

(x+4)^2+4(y-2)^2= 16+16-28

(x+4)^2+4(y-2)^2= 4

Dividiendo por 4:

[(x+4)^2]/4 + (y-2)^2=1

Es una elipse horizontal de centro (-4 ,2)

(x-h)^2/a^2. + (y-k)^2/b^2 =1.  es la elipse de centro (h,k)

semieje mayor :a=2

semieje menor : b=1

a^2=b^2+c^2

c^2=4-1=3

c=√3

Focos:

(h+c,k)=(-4+√3 , 2)

(h-c,k)=(-4-√3 ,2)

Vértices :

(h+a,k)=(-4+2,2)=(-2,2)

(h-a ,k) = (-4-2 ,2)=(-6,2)

Excentricidad: e=c/a =√3 /2

Lado Recto:

LR=2b^2/a =2•1^2/2=2/2 =1

Saludos y recuerda votar

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;)