Empecemos un poco por la definición: No significa que "No cumple con las Leyes de Newton", porque en realidad las cumple como todas las cosas. Lo que no cumple son los "Cálculos del movimiento de los fluidos" que hizo Newton... por la simple razón que Newton en esos cálculos supuso que "la viscosidad de un liquido es una constante"
Entonces un "Fluido No-Newtoniano", es en realidad "Un fluido que no tiene viscosidad constante y que esta puede variar en función de otros factores como ser temperatura o presión".
Así que la "diferencia de definición" es muy simple: El "Newtoniano" es un fluido ideal, que tiene viscosidad constante... y el "No.-Newtoniano" es un fluido cuya viscosidad no es constante... Así que te vas a encontrar con la realidad, que la inmensa mayoría de los fluidos son No-Newtonianos.
Lo que no hay que confundirse presuponiendo que TODOS los No-Newtonianos "se vuelven rígidos bajo presión", porque existen muchísimos tipos distintos, decenas de tipos: donde algunos se vuelven más fluidos al calentarse (como el aceite o la lava), otros se vuelven más fluidos al comprimirse (como la pintura sintética), otros retoman sus formas originales como algunos plásticos... y finalmente están los que mencionas en tu pregunta, los que "al presionarlos se vuelven más rígidos".
¿La razón de estos?. Son una mezcla de distintos componentes que en condiciones normales, uno o más de uno están DISUELTOS en otro más liquido (como la famosa "Maicena en agua", el tradicional ejemplo que se endurece al presionarlo). Cuando se los somete a presión, alguno de esos componentes, directamente solidifica porque sus moléculas se acercan un poco, y se pegan electrostaticamente unas a otras... formando un solido. Como la union en ese "solido" es muy débil, al retirar la presión, simplemente las moléculas se alejan un poquitito y se pierde... y todo vuelve al estado liquido.