El valor de "K" para el siguiente subespacio. ¿?
Hola gente de todo expertos. No puedo resolver este ejercicio. Me darían una mano.
Respuesta de Karl Mat
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Primero veamos dos casos:
- Cuando k = 1. Tenemos
$$\begin{align}&W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y-z=0\}=\{(x,y,x+y)\}\\&\\&W=\text{gen }\{(1,0,1),(0,1,1)\}\\&\\&\text{entonces }V=W\end{align}$$- Cuando k ≠ 1. Tenemos
$$\begin{align}&\text{De las ecuaciones }x+ky-z=0~\wedge~ x+y-z=0\\&\\&(k-1)y=0 \Longrightarrow y=0 \Longrightarrow x=z\\&\\&\text{ Así }W=\text{gen}\{(1,0,1)\}\text{ es decir }V\cap W\neq \emptyset\end{align}$$Finalmente en cualquiera de los dos casos se cumple
$$\begin{align}&W\subseteq W\end{align}$$Por ende
$$\begin{align}&V\cap W\neq \emptyset\end{align}$$Es decir no hay ningún k que V + W sea suma directa.
