Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (solución de problemas de temperatura)
“La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura”.
dT/dt= k (T - Ta)
En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso: Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo le llevará a la lámina alcanzar los 90° C, si se sabe que su temperatura se incrementó en 2° C en un segundo, cuánto le llevará alcanzar los 98° C respectivamente?
1 respuesta
1) Vamos a suponer que el agua hierve a 100°C, es decir que la temperatura de ambiente será 100°C
2) Tenemos como dato la temperatura inicial de la lámina : T₀ = T(0) = 20°C
3) Otro dato T(1) = 22
4) Retomemos la EDO inicial
$$\begin{align}&\dfrac{dT}{dt}=k(T-100)\\&\\&\textit{Resolviendo}\\&\\&\dfrac{dT}{T-100}=k ~dt\\&\\&\textit{Integrando ambos miembros}\\&\\&\int_{T_0}^{T} \dfrac{d\tau}{\tau-100}=k\int_{t_0}^{t} dx\\&\\&\int_{20}^{T} \dfrac{d\tau}{\tau-100}=k\int_{0}^{t} dx\\&\\&\left.\ln|\tau-100| ~~\right|_{20}^{T}=k~t\\&\\&\ln|T-100|-\ln|-80|=k~t\\&\\&\ln\left|\dfrac{T-100}{80}\right|=k~t\\&\\&T(t)=-80e^{k~t}+100\\&\\&\textit{Del dato en (2)}\\&\\&T(1) =22\\&\\&-80e^k+100=22\\&\\&e^k=\dfrac{39}{40}\\&\\&k=\ln \dfrac{39}{40}\\&\\&\textit{Por ende}\\&\\&\boxed{T(t)=-80\left(\dfrac{39}{40}\right)^{t}+100}\\&\\&\textit{Respondiendo a las preguntas}\\&\\&\bullet -80\left(\dfrac{39}{40}\right)^{t}+100=90\to t\approx 7.228262424\text{ seg}\\&\\&\bullet -80\left(\dfrac{39}{40}\right)^{t}+100=98\to t\approx 12.82276391\text{ seg}\\&\end{align}$$
¡Muchísimas gracias!
Pero, en la solución del problema me dan cuatro opciones de respuesta:
a. 82.1 s.
b. 145.75 s.
c. 87.4 s.
d. 158.94 s.
Ésto en cuanto a 98°C.
Lo siento me confundí en colocar los datos en la calculadora
Para 90°C la respuesta es t = 82.13355064
Para 98°C el tiempo es t = 145.7029724
Muchísimas gracias! <3
Amigo, de dónde salen los números (39/40)?
Te agradezco.
Está en el procedimiento
