¿Como puedo resolver problemas de logaritmos?
Considere log (-1) =x
Por ley de logaritmos log (-1)2=2log (-1) =2x Por otra parte, log (-1)2=log (1) =0
Por lo tanto, 2x=0; log (-1) =0 Lo cual sabemos que no es correcto. ¿Qué nos llevó a este resultado?
Se tiene una balanza con 4 pesas con las que se pueden realizar mediciones de 1 a 40
¿Cuál es el peso específico de cada una de las pesas?
2 respuestas
El error está en que nunca puedes escribir un argumento negativo. No puedes extraer el exponente si la base de la potencia es negativa porque el logaritmo no está definido. Es como dividir entre 0: no se puede.
Es cierto lo que dice Andrés L. Si se está trabajando sobre los números reales entonces el dominio de los logaritmos son positivos. Ahora la pregunta es ¿y se podrá usar argumentos negativos? La respuesta es NO. Sin embargo existen los LOGARITMOS COMPLEJOS (tenga en cuenta que los números complejos son un cuerpo sin ley orden, por ende no hay ni mayor, ni menor solo la identidad se permite). En particular tenemos una propiedad que mostrar
$$\begin{align}&\log (z_1\cdot z_2) = \log z_1+\log z_2 + 2\pi k i~~~;~~~ z_1,z_2\in\mathbb{C} ~, ~k\in\mathbb{Z}\end{align}$$Por ello ...
$$\begin{align}&\log(-1)^2=2\log (-1) + 2\pi k i\\&\\&\log(-1)^2= 2(\pi i) + 2\pi k i\\&\\&\log(-1)^2=2\pi i (1 + k)\\&\\&\log(-1)^2=2\pi i K\\&\\&\text{Por otra parte ...}\\&\\&\log (-1)^2 = \log 1\\&\\&\log (-1)^2 = \ln |1| + i (\arg(1) + 2\pi n)\\&\\&\log (-1)^2 = 0+ i(0 + 2\pi n)\\&\\&\log (-1)^2 = 2\pi n i\end{align}$$Por eso hay que tener mucho cuidado en qué uno se mete...
Observación: la abreviatura LOG se aplica a logaritmos complejos (en este contexto) cuya base es e. La abreviatura LN se aplica a logaritmos naturales con dominio en los números reales (en este contexto).
LN con base e.
Cierto lo olvidaba
$$\begin{align}&\log z=\ln |z|+i(\arg z + 2\pi k)~~;~~ z\in \mathbb{C}~,~k\in \mathbb{Z}\end{align}$$