Me cubre el seguro del hogar una mudanza?

No le cubre.

Pero el transportista si o si tiene la obligación de contratar un seguro de daños a la carga tanto en la manipulación de carga como en la descarga, así como en el trayecto.

Saludos y bienvenido a esta tierra santa.

El seguro de hogar no te garantiza el traslado y/o mudanza de tus bienes. Para ello se utiliza el Seguro de Transporte. Hay dos fórmulas, una que lo haga la propia empresa de transporte, (te lo pueden cargar en el presupuesto), si fuera el caso, pregunta que condiciones de cobertura, que compañía etc., pues hay quien no son de fiar. Y la otra, contratarlo tu mismo con una aseguradora a quien puedes pedir presupuesto para una mudanza a condiciones amplias, en este caso, si hubieran daños, la compañía se encarga de abonártelos directamente.

¿Cargo de que?

Es habitual que las pólizas de Hogar incluyan una garantia de mudanza, pero esta suele estar ligada a un siniestro por inhabitabilidad de la vivienda por siniestro amparado en póliza. De todas formas consulta tu póliza porque he visto alguna donde si se daba está cobertura (con ciertos limites).

No le cubre la mudanza, si se la hace una empresa, tienen seguro de responsabilidad civil.

Su seguro de hogar, no creo. Pero exíjale el seguro de responsabiliad civil a la empresa de mudanzas, y pregúntele que le cubre. Ellos deberían tenerlo, y supongo que no es le primero que se lo ha preguntado.

Generalmente el seguro del hogar no cubre mudanzas y guardamuebles salvo casos en los que la vivienda quede inutilizable total o parcialmente y en esos casos si que cubre.
Mira, puedes ver más info en este post que he encontrado sobre el seguro cubre mudanzas por si te sirve de ayuda.