Encontrar dos números complejos dadas las condiciones

Vamos a escribir dos números complejos

a+bi 

c+Di donde a y c son la parte real y b y d son las partes imaginarias.

El ejercicio dice que la suma tiene como parge imaginaria 5, es decir,

b+d=5 (I)

Luego que su producto es -5+5i,

(a+bi)(c+di)=-5+5i, vamos a hacer la multiplicación

ac+adi+bci+bdi^2. i^2=-1 y unimos las partes reales , queda

(ac-bd)+(ad+bc)i=-5+5i. Para que la igualdad se cumpla la parte real debe ser igual en ambas partes, igual con la parte imaginaria. Osea.

ac-bd=-5 (II)

ad+bc=5 (III)

Y lo último es que la diferencia da un imaginario puro

a+bi-(c+di)=ei donde e es otro número, lo importante de esto es que la parte real debe ser cero, osea a-c=0 y por lo tanto a=c, El valor de e no nos importa, solo que a-c es cero.

De (III) sustituimos a=c, nos queda,

ad+ab=5, factor común a

a(d+b)=5, y de (II) sabemos el valor de b+d

5a=5

a=1, y como a=c=1, ya tenemos los valores de a y c.

De (I) despejamos

b=5-d y sustituyendo en (II)

ac-d(5-d)=-5

1-5d+d^2=-5

d^2-5d+6=0, nos da d=3 y d =2, puedes usar la resolvente.

b=5-d

b nos daría 2 y 3 respectivamente 

Nos daría cuando d vale 3

a+bi=1+2i

c+di=1+3i

Y cuando vale 2

a+bi=1+3i

c+di=1+2i 

Que son los mismos en este caso