Bachillerato 5to Año Matemáticas Problema de Geometría Analítica

El ortocentro es uno de los puntos notables de un triangulo junto a circuncentro, baricentro e incentro. Cada uno se obtiene de manera particular.

El ortocentro se obtiene con la intersección de las alturas de un triángulo. Las alturas son rectas perpendiculares a un lado del triangulo que pasan por el vértice opuesto, como el triángulo posee tres lados, tiene tres alturas. ¿Qué tenemos que hacer?

Primero hallar las alturas, luego hallar su intersección, que si recuerdas es resolviendo un sistema de ecuaciones, Pero como las tres alturas coinciden en el ortocentro no es necesario hallar las tres, solo dos, para tener un sistema de ecuaciones con dos incógnitas(x e y) y dos ecuaciones

Empecemos:

Nos dan los vértices del triángulo, Hallemos los lados, como mencioné solo son necesario dos. Para tener la ecuación de una recta necesitamos punto y pendiente. Es indiferente cuales lados elijas.

Primero el lado AB

$$\begin{align}&M_1=\frac{Y_b-Y_a}{X_b-X_a}\\&M_1=\frac{7-1}{4-(-2)}=1\\&\\&(Y-yo)=M_1(X-xo)\\&Y-1=X-(-2)\\&Y-1=X+2\\&X-Y+3=0\\&\end{align}$$

Y ahora el lado AC

$$\begin{align}&M_2=\frac{Y_c-Y_a}{X_c-X_a}\\&\\&M_2=\frac{-3-1}{6-(-2)}=\frac{-1}{2}\\&\\&Y-1=\frac{-1}{2}(X+2)\\&2Y-2=-X-2\\&X+2Y=0\\&\end{align}$$

Ahora tenemos que hallar las alturas de esos dos lados que son rectas perpendiculares que pasan por el otro punto. Recuerda que la multiplicación de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1. Y como queremos que pase por el vértice ese es el punto que usaremos en la ecuación punto pendiente

Con el lado AB y vértice C

$$\begin{align}&M_1M_3=-1\\&1M_3=-1\\&M_3=-1\\&\\&(Y+3)=-(X-6)\\&Y+3=-X+6\\&X+Y-3=0\end{align}$$

Y el lado AC con vértice B

$$\begin{align}&M_2M_4=-1\\&\frac{-1}{2}M_4=-1\\&M_4=2\\&\\&(Y-7)=2(X-4)\\&Y-7=2X-8\\&2X-Y-1=0\end{align}$$

Ahora un sistema de ecuaciones para hallar la intersección de las alturas que nos dará el ortocentro

$$\begin{align}&X+Y-3=0\\&\\&2X-Y-1=0\\&\\&Sumando\\&3X-4=0\\&X=\frac{4}{3}\\&\\&\frac{4}{3}+Y-3=0\\&Y-\frac{5}{3}=0\\&Y=\frac{5}{3}\end{align}$$

Las coordenadas del ortocentro es (4/3,5/3). Puedes hallar el otro lado, hallar su altura y comprobar usando ese lado y otro y veras que da el mismo punto

Por cierto no es necesario hallar la ecuación de la recta que pasa por los lados, fue un paso de más innecesario, fíjate que no lo usamos para nada. Solo es necesario la pendiente de los lados

Mil gracias apreciado amigo.

Lo hice por mi cuenta y he dado con el mismo resultado. Ayer la pasamos rudo en Venezuela y no está el tema sencillo de resolver, oremos por la libertad y en especial por los fallecidos.

Abrazos.