Anónimo
Duda sobre problema con integral definida y cambio de variable
Se que usando ese cambio de variable cuando haga cambio en los extremos mis limites serán de -pi a +pi por lo tanto la integral es 0, ¿pero cómo lo demuestro? No entiendo como hacerlo si no está x - pi en la integral.
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Respuesta de Karl Mat
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Haciendo el cambio de variable obtenemos
$$\begin{align}&I=\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{(u+\pi)|\sin u|}{1+\cos^2u}du\end{align}$$Luego separamos en sumas
$$\begin{align}&I=\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{u|\sin u|}{1+\cos^2u}du}_{integral~de~funcion~impar}+\underbrace{\pi\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{|\sin u|}{1+\cos^2u}du}_{integral~de~funcion~par}\\&\\&I=0+2\pi\int_{0}^{\pi} \dfrac{|\sin u|}{1+\cos^2u}du\\&\\&I=2\pi\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{1+\cos^2u}du ~~\cdots\cdots\cdots\cdots (\textbf{\sin}\text{ es positivo en }IC)\\&\\&I=\left.2\pi [\arctan (\cos u)]\right|_{0}^{\pi}\\&\\&I=\pi^2\end{align}$$
Hola, solo tengo la duda en la sustitución de u + pi porque en sinx y cos^2x quedó como sinu y cos^2u y no con el +pi, gracias.
Por reducción al primer cuadrante.
Recordemos pi + u pertenece al IIIC, allí las funciones seno y coseno son negativas, además
sen (u + pi) = - sin u
cos (u + pi) = - cos u