Anónimo
Demostración de fórmula por medio de integración por partes y cambio de variable
Tengo sobre todo duda en los puntos a y b pues no se como de una integral se puede pasar (o igualar como se ve en el ejercicio) de nuevo a ese tipo de notación, solicito ayuda para ver el procedimiento de como realizar los 3 puntos.
$$\begin{align}&\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx\\&\\&u=1-x \qquad x=1-u\\&du=-dx\\&\\&\int_{1}^{0}(1-u)^{\alpha-1}(u)^{\beta-1} (-du)\\&\int_{0}^{1}(1-u)^{\alpha-1}(u)^{\beta-1} du\end{align}$$Ahora u es lo que al menos en ingles se llama dummy variable, y bueno es que no importa que letra esté ahí, pude haber puesto v, t, r y el resultado es el mismo, el resultado va a depender de los intervalos de integración (que son el mismo luego de hacer la sustitución).Parecerá trampa, pero esto se aplica para demostrar por ejemplo que cuando se evalúa una integral de una función par de -a hasta a, es lo mismo que evaluar la integral de 0 a a dos veces
Por lo que
$$\begin{align}&\int_{0}^{1}(1-u)^{\alpha-1}(u)^{\beta-1} du=\int_{0}^{1}(1-x)^{\alpha-1}(x)^{\beta-1} dx=B(\beta,\alpha)\end{align}$$b)
$$\begin{align}&B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx\\&\\&u=x^{\alpha-1} \qquad du=(\alpha-1)x^{\alpha-2}dx\\&dv=(1-x)^{\beta-1} dx \qquad v=-\frac{(1-x)^{\beta}}{\beta}\\&\\&B(\alpha,\beta)=-x^{\alpha-1}\frac{(1-x)^{\beta}}{\beta}\bigg|_{0}^{1}+\frac{\alpha-1}{\beta} \int_{0}^{1} (1-x)^{\beta}x^{\alpha-2}dx=\frac{\alpha-1}{\beta} \int_{0}^{1} (1-x)^{(\beta+1)-1}x^{(\alpha-1)-1}dx\\&B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha-1,\beta+1)\\&\\&B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx\\&\\&u=(1-x)^{\beta-1} \qquad du=-(\beta-1)(1-x)^{\beta-2}dx\\&dv=x^{\alpha-1}dx \qquad v=\frac{x^{\alpha}}{\alpha} \\&\\&B(\alpha,\beta)=\frac{x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}}{\alpha}\bigg|_{0}^{1}+\frac{\beta-1}{\alpha} \int_{0}^{1} (1-x)^{\beta-2}x^{\alpha}dx=\frac{\beta-1}{\alpha} \int_{0}^{1} (1-x)^{(\beta-1)-1}x^{(\alpha+1)-1}dx\\&B(\alpha,\beta)=\frac{\beta-1}{\alpha}B(\alpha+1,\beta-1)\\&\\&B(\alpha,\beta)=\frac{\beta-1}{\alpha}B(\alpha+1,\beta-1)=\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha-1,\beta+1)\\&\end{align}$$
La c ya te la doy por alguna razón no me da aunque se que esa es la respuesta
$$\begin{align}&B(n,m)=\int_{0}^{1} x^{n-1}(1-x)^{m-1}dx=\\&\frac{n-1}{m}B(n-1,m+1)=\frac{n-1}{m}\frac{n-2}{m+1}B(n-2,m+2)=\\&\frac{n-1}{m}\frac{n-2}{m+1}\frac{n-3}{m+2}B(n-3,m+3)=\\&\frac{n-1}{m}\frac{n-2}{m+1}\frac{n-3}{m+2}...\frac{2}{m+n-3}B(2,m+n-2)=\\&\frac{n-1}{m}\frac{n-2}{m+1}\frac{n-3}{m+2}...\frac{2}{m+n-3}\frac{1}{m+n-2}B(1,m+n-1)\\&\\&\\&B(1,m+n-1)=\int_{0}^{1} x^{1-1}(1-x)^{m+n-1-1}dx=\int_{0}^{1} (1-x)^{m+n-2}dx=\\&\frac{(1-x)^{m+n-1}}{m+n-1}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{m+n-1}\\&\\&\\&B(n,m)=\frac{n-1}{m}\frac{n-2}{m+1}\frac{n-3}{m+2}...\frac{2}{m+n-3}\frac{1}{m+n-2}\frac{1}{m+n-1}=\\&\frac{(n-1)!}{m(m+1)(m+2)...(m+n-1)}\\&\\&\\&\frac{(m-1)!}{(m+n-1)!}=\frac{(m-1)!}{(m+n-1)(m+n-2)(m+n-3)...m(m-1)!}=\frac{1}{m(m+1)(m+2)...(m+n-1)}\\&\\&\\&B(n,m)=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(m+n-1)!}\\&\\&\\&\end{align}$$Es enredado, pero si usas numeros cualesquiera el patron se hace mas claro. Por ejemplo cuando 2 esta en el numerador, si los pruebas con numeros veras que siempre el denominador sera la suma de los dos numeros menos 3 siempre