Como demostrar las siguientes integrales (series de Fourier)

$$\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx \ dx\\&\\&m=n\\&\\&\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 mx \ dx=\\&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 1+ \cos 2mx \ dx\\&\frac{1}{2} (x+\frac{1}{2m}\sin x) \bigg|_{-\pi}^{\pi}\\&\frac{2 \pi}{2}=\pi\\&\\&m \ne n\\&\\&\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx \ dx\\&\\&\cos x \cos y= \frac{1}{2}(\cos(y+x)+\cos(y-x))\\&\\&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos (nx+mx)+ \cos (nx-mx) \ dx=\\&\frac{1}{2}(\frac{\sin (nx+mx)}{n+m}+\frac{\sin (nx-mx)}{n-m}) \bigg|_{-\pi}^{\pi}=0\\&\sin(multiplo \ de \ \pi )=0\\&\\&\end{align}$$

La de los senos es muy parecida, voy a saltarme algunos pasos

$$\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin (nx) dx\\&\\&m=n\\&\\&\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(mx) \ dx=\\&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} (1-\cos(2mx))  \ dx=\pi\\&\\&m\ne n \\&\\&\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin (nx) dx\\&\\&\sin(x)\sin (y)=\frac{1}{2}(\cos(y-x) -\cos (y+x))\\&\\&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx-mx)- \cos (nx+mx) dx=0\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx\ dx\\&\\&\sin x \cos y= \frac{1}{2}(\sin(x+y)-\sin (y-x))\\&\\&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx+nx)- \sin (mx-nx) \ dx=0\\&\\&sinx= funcion\ impar\\&\end{align}$$

a) Esta es un poco mas compleja, voy a necesitar explicar un poco, si te pongo el resultado de una no se entiende. Otra cosa, le falta un factor pi al Am que muestra de resultado. Puedo cambiar el orden entre la integracion y la suma(el por que no lo voy a decir, no es el punto de la pregunta). Ahora piensalo de esta manera, el sumatorio lo que esta haciendo es A1senx+A2sen2x+A3sen3x, y el sen mx esta multiplicando a eso asi que son muchas integrales sumadas. Que sucede cuando m es distinto de n, pues la integral vale cero, y cuando n=m, pues quedaria Amsenmxsenmx y eso demostramos arriba que es pi. Es por eso que cuando m<=N vale piAm, porque todos los términos son ceros excepto cuando m=n, y cuando m>N, N no es nunca igual a m por lo que vale siempre cero

$$\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(mx)dx=\\&\\&\int_{-\pi}^{\pi}  \sum_{n=1}^{N} A_n \sin nx \sin mx \ dx\\&\sum_{n=1}^{N} \int_{-\pi}^{\pi} A_n \sin nx \sin mx \ dx\\&\sum_{n=1}^{m-1} \int_{-\pi}^{\pi}A_n \sin nx \sin mx \ dx+\int_{-\pi}^{\pi}A_m\sin mx \sin mx \ dx+ \sum_{n=m+1}^{N} \int_{-\pi}^{\pi}A_n \sin nx \sin mx \ dx=\\&0+ \pi A_m +0\\&\end{align}$$

Puse los valores de una y en una sola linea, espero que con la explicacion sea suficiente

b)

$$\begin{align}&\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{N}A_n^2 \sin^2 (nx) dx\\&\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{N}A_n^2  \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin(nx) dx=\\&\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{N}A_n^2 \pi= \sum_{n=1}^{N}A_n^2\\&\end{align}$$