Hallar la ecuacion de la recta normal a la curva y= raiz de x-1 que es paralela a la recta 2x+y+1=0
Me indican como resolver el ejercicio.
1 respuesta
Una recta normal es aquella que es perpendicular a la recta tangente de una curva por un punto, nos dicen que 2x+y+1=0 es paralela a esa recta normal desconocida por lo que si hallamos la pendiente obtendremos la pendiente de la normal
$$\begin{align}&2x+y+1=0\\&y=-2x-1\\&M_1=-2\end{align}$$La pendiente de la normal es entonces -2. Y usando el hecho que la multiplicacion de dos pendientes de rectas perpendiculares es -1
$$\begin{align}&(y-1)=-2(x-2)\\&y-1=-2x+4\\&2x+y-5=0\end{align}$$Esa es la pendiente de la recta tangente (la recta perpendicular a la normal). Ahora recordemos que la derivada nos dice cual es la pendiente de la recta normal. Derivemos la curva que nos dicen
$$\begin{align}&f(x)=\sqrt{x-1}\\&f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\\&1= \sqrt{x-1}\\&\pm 1=x-1\\&x=1\pm 1\\&x_1=2\\&x_2=0\end{align}$$Ya tenemos los valores de x en los que la curva tiene una recta tangente de pendiente 1/2
Ahora veamos a que valor de y corresponde sustituyendo en la curva original
$$\begin{align}&y(0)=\sqrt{0-1}=\sqrt{-1}\\&y(2)=\sqrt{2-1}=1\end{align}$$El valor de x=0 no nos sirve.
Ahora, la tangente y la normal se intersectan en el punto de tangencia, ya tenemos entonces un punto y la pendiente de la normal
¡Gracias! te agradezco mucho
Joder.me disculpo, a veces sucede que cuando insertas algo se te reescribe en otra y eso fue lo que pasó.. la ecuación de la recta que puse 2x+y-5=0 es la respuesta y eso va al final. Lo que va en ese recuadro es que M1.M2=-1
M2=1/2 y esa es la pendiente de la tangente. Por eso cuando derivé igualé a 1/2 para ver en qué puntos la derivada(la pendiente) toma ese valor
