Como saber las combinaciones posibles de conjunto portencia

Buenos dias/tardes. Vi que escribiste ayer preguntando en que libros puedes encontrar ejercicios de este tema, pues la verdad no se, supongo que en alguno de teoría de conjuntos.

Para saber cuantos subconjuntos hay de 2 elementos, cuantos de 3, etc. La palabra clave que dijiste es combinación.

Utilizas la siguiente formulita

$$\begin{align}&{n \choose m} \quad=\frac{n!}{m!(n-m)!}\end{align}$$

No se si la conoces ya o no, pero en resumen te dice si tienes n elementos de cuantas formas se pueden elegir m elementos

En este caso n es 5, m va a depender de que quieras ver(cuantos subconjuntos hay de 1 elemento, cuantos de 2, cuantos de 3, etc. Eso si esta fórmula no toma en cuenta el conjunto vacío) Puedes verificar que si quieres ver cuantos subconjuntos hay de 3 elementos sustituyendo n=5 y m=3 nos da como resultado 10. Que coincide con lo que hiciste.

No se si haya una manera más rápida que la que voy a decir para hallar las combinaciones, pero si recuerdo que se hace uso de los números binarios (no se como te enseñaron a ti a hacerlo así que explico)

Los números binarios usan dos números, el 0 y el 1.

Empezamos escribiendo 0 n veces (igual al numero de elementos del conjunto original). En tu caso

00000

Y luego vas escribiendo todos los números de 0 hasta (2^n)-1, en tu caso (2^5)-1=31. ¿Cómo se escriben los números binarios? Bueno se utilizan potencias de 2, leyéndose de derecha a izquierda

La de la derecha es 2^0, luego 2^1, luego 2^2, luego 2^3,...

En tu caso

2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0

Ahora tenemos que escribir los números del 0 al 31, para ello se pone un 1 debajo de cada potencia de 2 si se necesita para que la suma de las potencia que tienen 1 nos de el numero que queremos y ponemos un cero si no se necesita.

El 00000 tiene 0 en todo por lo que es 0

El 1

     2^4     2^3     2^2     2^1    2^0

        0        0         0         0        1

El 2 

      2^4     2^3     2^2     2^1    2^0

       0        0         0         1        0

El 3

  2^4     2^3     2^2     2^1    2^0

     0        0         0         1        1

El 4

    2^4     2^3     2^2     2^1    2^0

      0        0         1         0        0

El 5

     2^4     2^3     2^2     2^1    2^0

       0        0         1         0        1

Quiero que te fijes que por ejemplo en el caso del 3 si sumamos 2^1 y 2^0 que son los que tienen un 1 2^1+2^0=3, en el caso del 4 tenemos solo el 2^2=4, en el caso del 5 es 2^2+2^0=5

Voy a escribir todas las posibles combinaciones del 0 al 31 usando lo de arriba

00000

00001

00010

00011

00100

00101

00110

00111

01000

01001

01010

01011

01100

01101

01110

01111

10000

10001

10010

10011

10100

10101

10110

10111

11000

11001

11010

11011

11100

11101

11110

11111

Parecerá complicado al principio, pero no lo es, incluso si ves un poco, observaras que hay un patrón que se repite. En total hay 32 números (no es coincidencia que sea el mismo que las combinaciones del conjunto potencia). Ahora de que sirve esto para saber las combinaciones del conjunto potencia, pues fíjate que en los números binarios colocamos 5 números (a propósito), cada numero corresponde a un elemento del conjunto. Ahora todos esos 32 números corresponden a un subconjunto del conjunto potencia, que tiene de elementos aquellos en los que aparezca el 1, en tu caso

00000 es el vacío

00001 es {e}

00010 es {d}. etc

Si quieres saber cuales son los subconjuntos de 4 elementos por ejemplo solo debes revisar aquellos números binarios que posean 4 1's

01111,10111,11011,11101,11110 que corresponde a {b,c,d,e},{a,c,d,e},{a,b,d,e},{a,b,c,e},{a,b,c,d}

Excelente explicaciòn, muchìsimas gracias.