Verificar el Teorema de Green en el siguiente problema

Supongo te refieres a que usemos los dos métodos.

Primero usando el teorema de green.

Hallando los puntos de intersección entre las curvas tenemos los puntos

(0,0),(0,2) y (2,1). La curva C es una especie de triangulo pero su hipotenusa es una parábola

Nos quedaría que 0<x<2 e 0<y<x^2/4. Recuerda que el teorema de green relaciona las integrales de linea con integrales de área, y con estos intervalos cubres todo el dominio encerrado por esa curva(Puedes dibujar las rectas y ver que efectivamente es así)

$$\begin{align}&\int_C F.t=\int \int _D \nabla x F \, dx \, dy\\& \nabla x F =Q_x-P_y\\& \nabla x F =y-1\\&\\&0< x <2\\&0< y < \frac{x^2}{4}\\&\int_{0}^{2} \int_0^\frac{x^2}{4} y-1 \, dx \, dy=\int_{0}^{2} \frac{x^4}{32}-\frac{x^2}{4} dx=-\frac{7}{15}\\&\end{align}$$

Usando integrales de linea, hallaremos la circulación, es un poco mas complicado, primero porque tenemos que evaluar cada curva individualmente (parametrizandolas) y luego sumar sus valores. Eso si, recuerda que en sentido antihorario se considera positivo, pero si la parábola la hacemos en sentido antihorario va a ir en sentido contrario a las demás, por lo que debemos tomarlo negativo para que vaya en sentido horario y así la circulación vaya en un mismo sentido

$$\begin{align}&\int_\varGamma F.tds=\int_\varGamma Pdx+Qdy=\int_a^b P(t)x'(t)+Q(t)y'(t) \,dt\\&F=(x+y)dx+(xy)dy\\&\varGamma=c1+c2+c3\\&\\&c1=x=0 \\&x=t,y=0\\&0< t<2\\&\\&F=\int_0^2 t dt=2\\&\\&c_2=x=2\\&x=2\\&y=t\\&0< t<1\\&\\&\int_0^1 2t dt=1\\&\\&c_3=y=\frac{x^2}{4}\\&x=t\\&y=\frac{t^2}{4}\\&0< t <2\\&\\&\text{En este caso nosotros queremos que toda C se mueva en sentido antihorario}\\&\text{Con la parametrizacion que tenemos C3 se mueve de izquierda a derecha (pero en sentido contrario a las demas por lo que }\\&\text{debemos tomar el valor negativo}\\&-\int_0^2 t+\frac{t^2}{4}+\frac{t^3}{4}(\frac{t}{2}) dt=- \frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{12}-\frac{t^5}{40} \bigg]_0^2=-\frac{52}{15}\\&-\frac{52}{15}+2+1=-\frac{7}{15}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$