X^2 y^''-xy^´+2y=xln⁡x soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler

Primero hay que hallar la solución general (asumiendo que es una ecuacion de euler)

Para ello asumimos que la solución es de la forma y=x^r

$$\begin{align}&x^2y''-xy'+2y=0\\&\\&y=x^r\\&y'=rx^{r-1}\\&y''=r(r-1)x^{r-2}\\&\text{Sustituyendo en la ecuacion}\\&x^2r(r-1)x^{r-2}-xrx^{r-1}+2x^r=0\\&r(r-1)x^r-rx^r+2x^r=0\\&x^r(r^2-r-r+2)=0\\&r^2-2r+2=0\\&\\&r_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2 \pm 2i}{2}=1 \pm i\\&\text{No recuerdo como eran las formas de las soluciones, pero buscando nos quedaria}\\&y_g=C_1 x \cos ( \ln x)+C_2x \sin (\ln x)\\&\\&\end{align}$$

Tendremos que hacer variacion de parametros, que nos dice que las soluciones son

$$\begin{align}&Y_p=uy_1+vy_2\\&\\&\text{Donde}\\&\\&u=-\int \frac{y_2g(x)}{W}dx\\&v=\int \frac{y_1g(x)}{W}dx\\&\text{W es el wronskiano}\end{align}$$

Ahora a hallar el wronskiano:(

Recuerda el wronskiano es hallar el determinante de la matriz, que tiene en la primera filla y1 e y2 y en la segunda fila sus determinantes. Y1 va a ser para mi el xcos(lnx) y el y2 va a ser el y2 xsin(lnx)

$$\begin{align}&y_1=x \cos (\ln x)\\&y_1'=\cos ( \ln x) - x \sin (\ln x)\frac{1}{x}=\cos ( \ln x) -\sin (\ln x)\\&\\&y_2=x \sin (\ln x)\\&y_2'=\sin( \ln x)+  \cos (\ln x)\\&\\&W=y_1y_2'-y_2y_1'\\&W=x \sin(\ln x)\cos(\ln x)+x \cos^2(\ln x)-x \sin (\ln x)\cos (\ln x)+x \sin^2 (\ln x)\\&W=x \cos^2(\ln x)+x \sin^2 (\ln x)=x\\&\because \cos^2 x+\sin^2x=1\end{align}$$

Pues fue mas sencillo de lo que pensé. Las integrales por otro ladoo... pues haciendo una sustitucion w=lnx en cada una, y luego haciendo integración por partes te da. (Si necesitas ayuda me dices)

La pregunta es, ¿hay una manera más sencilla? Tengo que pensar. Si se me ocurre algo te digo

Recuerda el wronskiano es hallar el determinante de la matriz, que tiene en la primera filla y1 e y2 y en la segunda fila sus determinantes.

Lo que está en negritas me refería a sus derivadas

¡Gracias! 

g(x) por cierto es la función que está a la derecha

La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie esL di/dt+Ri+1/c ∫_0^t▒〖i(τ)dτ=E(t)〗@alejandrosalazar me la revisas me haces el favor