Para hacerme autónoma de compra y venta de coches, ¿Es obligatorio tener un local?

No es necesario tener un local en propiedad, y puedes darte de alta en tu propio domicilio, en la medida que lo tuyo sea una mediación pura y simple, sin que realices la compraventa, sino simplemente intermedias entre comprador y vendedor. Entiendo que como intermediaria del comercio, no tendrías ningún requisito añadido.

Si por el contrario compras en firme y luego vendes a otra parte, deberás de comprobar si tienes algún requisito administrativo que cumplir a nivel autonómico, y ten en cuenta que tendrás que realizar los cambios de titularidad del vehículo cada vez con los costes que eso conlleva.