Como resolver integrales por partes
Como resolver esta integral, se que es por partes pero al resolverla me aparece otra integral más compleja.
1 Respuesta
Respuesta
1
Tal vez sea porque las consideraste al revés...
$$\begin{align}&Sabemos\ que\\&\int uv'=uv - \int u'v\\&Sea\\&u=e^{2x} \to u'=2e^{2x}\\&v'=\cos(3x) \to v=\frac{sen(3x)}3\\&\int e^{2x} \cos(3x) dx=e^{2x} \frac{sen(3x)}3 - \int 2e^{2x} \frac{sen(3x)}3=e^{2x} \frac{sen(3x)}3 - \frac{2}3 \int e^{2x} sen(3x)=\\&\text{Volvemos a hacer partes...}\\&u=e^{2x} \to u'=2e^{2x}\\&v'=sen(3x) \to v=-\frac{\cos(3x)}3\\&e^{2x} \frac{sen(3x)}3 - \frac{2}3 \int e^{2x} = e^{2x} \frac{sen(3x)}3 - \frac{2}3 \bigg(e^{2x} (-\frac{\cos(3x)}3) - \int e^{2x}(-\frac{\cos(3x)}3) \bigg) = (reacomodo)\\&\frac{1}{3} e^{2x} sen(3x) + \frac{2}9 e^{2x} \cos(3x) - \frac{2}{9} \int e^{2x}\cos(3x)\\&\text{Pero no olvidemos de donde partimos...juntando el inicio, con esto último, tenemos...}\\&\int e^{2x}\cos(3x) = \frac{1}{3} e^{2x} sen(3x) + \frac{2}9 e^{2x} \cos(3x) - \frac{2}{9} \int e^{2x}\cos(3x)\\&Agrupando\\&\int e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{9} \int e^{2x}\cos(3x)= \frac{1}{3} e^{2x} sen(3x) + \frac{2}9 e^{2x} \cos(3x)\\&\frac{11}{9} \int e^{2x}\cos(3x)= \frac{1}{3} e^{2x} sen(3x) + \frac{2}9 e^{2x} \cos(3x)\\&\int e^{2x}\cos(3x)= \frac{9}{11} \bigg( \frac{1}{3} e^{2x} sen(3x) + \frac{2}9 e^{2x} \cos(3x) \bigg)\\&\int e^{2x}\cos(3x)= \frac{3}{11} e^{2x} sen(3x) + \frac{2}{11} e^{2x} \cos(3x) \end{align}$$Salu2