En el trapecio ABCD; AB y DC son las bases mayor y menor respectivamente y M y N son los puntos medios

$$\begin{align}&    \end{align}$$

$$\begin{align}& \end{align}$$

$$\begin{align}& ~~~~~~~~~\end{align}$$

1) Por definición del trapecio, se sabe que AB || DC

2) Supongamos que los segmentos AB y DC tengan la misma dirección y además:

$$\begin{align}&\vec{AB}\parallel \vec{DC}\parallel \vec{u}~~~~~~~~\end{align}$$

Es decir que 

$$\begin{align}&\vec{AB}=m\vec{u}\\&\vec{DC}=n\vec{u}~~~~~~~\end{align}$$

donde m y n son números reales distintos de cero

3) Sea P y Q los puntos medios de los segmentos AD y BC respectivamente

(+)  Veamos al triángulo ADC, entonces tenemos

$$\begin{align}&\vec{AC}-\vec{AD}=\vec{DC}\end{align}$$

Luego dividimos todo esto entre 2

$$\begin{align}&\dfrac{1}{2}\vec{AC}-\dfrac{1}{2}\vec{AD}=\dfrac{1}{2}\vec{DC}~~~~~~~~~~~\\&\\&\vec{AP}-\vec{AM}=\dfrac{1}{2}\vec{DC}\\&\\&\vec{P M}=\dfrac{1}{2}\vec{DC}\end{align}$$

(+) Según lo que definimos en (2) tendríamos

$$\begin{align}&\vec{P M}=\dfrac{1}{2}n~\vec{u}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}$$

(+) De forma análoga, podemos deducir del triángulo ADB

$$\begin{align}&\vec{PN}=\dfrac{1}{2}\vec{AB} = \dfrac{1}{2}m\vec{u}~~~~~\end{align}$$

4) entonces 

$$\begin{align}&\vec{MN}=\vec{ PN}-\vec{P M}\\&\\&\vec{MN}=\dfrac{1}{2}n\vec{u}-\dfrac{1}{2}m\vec{u}=\dfrac{1}{2}(n-m)\vec{u} =k \vec{u}~~~~\end{align}$$

Por lo tanto con (2) y (4) deducimos que 

$$\begin{align}&\vec{DC}\parallel\vec{MN}\parallel\vec{AB}~~~~~~~~~~~~~~~\end{align}$$