Mi seguro del hogar ha hecho una "chapuza" en casa del vecino después de una fuga de agua mía.

Puedes solicitar un perito, de tu propia compañía, quien con un informe te ratifique lo que ha dicho el reparador.

También puedes poner una reclamación al servicio de defensa del cliente

En mi opinón, lo mejor es que el vecino de abajo reclame a su seguro para aplicar estéticos, puesto que en responsabilidad civil las compañías no aplican estéticos.

La primera norma para no tener conflictos con vecinos por estas cosas es tener una buena póliza, con un buen agente o corredor que asesore en cada momento. Y de ahí los problemas.

En este punto el problema es una mala reparación que efectivamente ha ordenado y pagado una aseguradora, pero que quien la ha ejecutado es un autónomo encargado para el trabajo. Y por tanto, el responsable de la chapuza (si es que lo fuera) es el propio pintor.

Si la pintura se abomba una de las posibilidades es que se haya pintado con el techo aún húmedo, no se si ese pudiera ser el problema. O también que estuviera en muy mal estado (por la gotera o de antes) y para reparar completamente habría que picar ese techo antes de pintarlo. Ambas situaciones culpa del profesional.

Los profesionales los eligen las aseguradoras, de entre quién quiere trabajar con ellos según lo que pagan. Vuelvo al principio, una aseguradora que paga bien a los reparadores suele tener mejores profesionales trabajando.
Soluciones:

La que se debería haber tomado desde el principio y por el perjudicado, sobre todo si supiera que iba a atender LD, es haber dado parte a la aseguradora del dueño de ese techo. Siempre te va a atender mejor una compañía de la que eres cliente que de la que eres el perjudicado, y además, hay garantías a aplicar desde tu póliza que desde la del vecino de arriba no te van a aplicar. Pero ahora ya, esta posibilidad es más que compleja porque el trabajo está hecho y lo que puede el vecino es recurrir a su póliza par reclamar por el trabajo mal hecho si tiene coberturas de protección jurídica como consumidor su póliza de hogar.
Acudir a tu propia póliza para reparar un daño provocado por el perjudicado, aunque lo pague la aseguradora de arriba tiene un coste de reclamación, muchas veces incluso judicial entre aseguradoras, y por tanto sí que figurará como un parte que la aseguradora tendrá en cuenta. De la manera que cada aseguradora tenga en cuenta estos detalles. En hogar tienen una incidencia menor.
Lo que puedes hacer tu ahora es reclamar al reparador a través del sistema que tenga tu compañía por un mal trabajo, o incluso aludiendo a la garantía del trabajo que debería ofrecer cada profesional. Y sin tener un agente de seguros colegiado o un corredor bueno te va a costar algunas llamadas...
Insisto, teniendo un agente de seguros o un corredor se encarga de todas estas cosas, probablemente te hubieran recomendado una aseguradora con menos incidencias en las reparaciones, pero sobre todo cuando ocurren, los profesionales, sabemos dónde llamar y como para solucionarlo. Y además, controlamos cada paso del siniestro, las peritaciones, las reparaciones, para evitar que estas cosas puedan ocurrir. Porque que un techo acabe mal reparado es una faena, provoca unas semanas de incertidumbre pero lo que hay que evitar es tener enfrentamientos con vecinos con los que hemos de convivir probablemente decenas de años...

El problema es que si a ti no te hacen caso, debe ser la compañía del vecino que reclame daños a la tuya y se pongan de acuerdo.

Eso de que le van a cobrar por hacerlo no es cierto. Te cobrarán a ti en el precio de la próxima póliza. Es que no se quiere molestar. En su póliza de seguro de hogar ya incluye la "reclamación de daños a terceros".