Problema de cálculo variacional para un hemisferio

Trata sobre cálculo variacional, debo encontrar la ecuación de la curva para la cual el tiempo de tránsito entre dos puntos es mínimo. Hasta ahora tengo que la velocidad (que está en función de la altura z) es dada por

$$\begin{align}&v(z) = \dfrac{Rd\theta\sqrt{1+sen^2\theta{\phi'}^2}}{dt}\end{align}$$

donde R es el radio del hemisferio, y θ y φ pertenecen a las coordenadas esféricas, mientras que φ' es la derivada de φ respecto de θ.

El problema que tengo es que necesito encontrar otra expresión para v(z) para luego igualar con la que ya tengo y así poder integrar y calcular la distancia mínima, o ¿con lo que tengo es suficiente para resolver este problema?