Rescisión de contrato suministro de luz

A raíz de problemas financieros, voy pagando las facturas de luz y gas tarde. Nunca me han llegado a cortar el suministro aunque son varias las ocasiones en las que he recibido el aviso por certificado, pero he podido pagar antes del corte.

Hoy he recibido un correo electrónico indicando que la compañía ha recibido no renovar mi contrato de luz (de gas aún no he recibido nada), y que dicho contrato acaba el 07/05/21. Me instan a que busque otra empresa y me dicen (copio textualmente)

""Por ello, es necesario que inicie los trámites de contratación de suministro eléctrico con otra empresa comercializadora de luz, antes de finalizar su contrato con nosotros. Por ejemplo puede contactar con la empresa Comercializadora de Referencia* que le corresponda según la normativa vigente.

A veces, este trámite provoca la cancelación del contrato de acceso a redes con la empresa distribuidora y, por tanto, la suspensión del suministro. Por eso le recomendamos que contacte con la empresa Comercializadora de Referencia que le corresponda para evitar cualquier incidencia relacionada con su suministro de luz""

Mi pregunta es... ¿pueden cortarme el suministro si sigo pagando antes de la fecha que me indican en el aviso certificado?