¿Cómo encontrar una ecuación diferencial dada su solución?

Mi problema con el siguiente ejercicio es el siguiente: Mientras puedo encontrar la ecuación homogénea asociada la cual es y''-5y=0, se me complica encontrar de forma analítica la ecuación g(x) de la cual -9/26cos(x)-45/25sen(x) es su solución.
¿Cómo encuentro los coeficientes de la g(x) y especialmente como sé si mi solución es dada en seno o coseno?

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De hecho la homogenea sería y''-5y'=0. Fijate que las constantes nos dicen que una solución es la función constante. Por lo que la ecuación característica sería D^2-5D=0. Para hallar la particular podrías recordar el método para resolver ecuaciones con coef constantes. Coeficientes indeterminados creo que se llama(?). Tendrías la edo de la forma y''-y' = Ae^x-Bcosx+Csinx. Podrías hacer como si fueras a resolver usando este método, y claro ahora lo que conoces son las soluciones. Podrías intentar despejar A, B y C y obtendrías lo que quieres.

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