Como hago esta integral {(2x-3)/(x^2-7x+10)} dx
Lo he intentado por sustitución y por fracciones pero no logro el resultado que es
1/3ln{ (x-5)^7/x-2} + C
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Un posible procedimiento es transformarla, restando al numerador original 4 y luego, generar la segunda integral sumándole 4 (obviamente con igual denominador):
∫ [(2x-3) / (x^2-7x+10)]*dx = ∫ [(2x-7) / (x^2-7x+10)]dx + ∫ [ 4 / (x^2-7x+10)] dx;
La primera es logarítmica: ln (x^2-7x+10), la segunda por fracciones parciales:
4* ∫ dx/ [(x-2)(x-5)];
4 / [(x-2)(x-5)] = A/(x-2) + B/(x-5); sumo a la derecha:
4 / [(x-2)(x-5)] = [A(x-5) + B(x-2)] / [(x-2)(x-5)]; simplifico: 4 = [A(x-5) + B(x-2)]; doy valores:
Para x=2: -3A + 0B=4; A= (-4/3);
Para x=5: 0A + 3B=4; B=(4/3); queda:
(4/3) [ ∫ dx / (x-5) - ∫ dx/(x-2) ]; integro: (4/3) [ln(x-5) - ln(x-2)]; o: (4/3) ln [(x-5)/(x-2)]; o:
ln {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)}; finalmente:
ln (x^2-7x+10) + ln {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)}; o:
ln (( (x^2-7x+10) * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} )) + C; si hacemos C= ln A:
ln (( (x^2-7x+10) * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} )) + lnA;
ln (( A*(x^2-7x+10) * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} )).
Tendrías que intentar igualar el resultado que te dan a este.
Veamos por operaciones y simplificaciones sucesivas:
1/3ln{ (x-5)^7/ (x-2} + C = ln (( A*(x^2-7x+10) * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} ))
ln{ (x-5)^7/( x-2} ^(1/3) = ln (( (x^2-7x+10) * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} ))
{ (x-5)^7/ (x-2)} ^(1/3) = (( (x^2-7x+10) * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} ))
{ (x-5)^7/ (x-2)} ^(1/3) = (( [(x-2)(x-5)] * {[(x-5)/(x-2)]^(4/3)} ))
{ (x-5)^7/ (x-2)} ^(1/3) = (( [(x-2)[(x-5)] * {[(x-5)^(4/3)] / [(x-2)^(4/3)} ))
{ (x-5)^7/ (x-2)} ^(1/3) = (( {[(x-5)^(7/3)] / [(x-2)^(1/3)} ));
(x-5)^(7/3) / (x-2)^(1/3) = (x-5)^(7/3) / (x-2)^(1/3); lo que demuestra que ambos resultados son iguales.
