Determinar el volumen del solido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y la región delimitada

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Si bien puede usarse el método de Discos-Arandelas, me impresiona más sencillo usar el de cilindros. ∫ π

Las dos funciones son y=x (que quedará por encima);  y=x^2 (por debajo).  

Los límites de integración serán los puntos de cruce de ambas funciones:  igualo:  x=x^2;  

0=(x-x^2);  0 = x(1-x);  quedando:  x=0 y x=1

Analicemos un cilindro de espesor diferencial cuyo eje es el eje y y su altura (h) será y(x) y su radio (r) sera x:

Volumen de un cilindro sólido:  V= π*r^2*h;  pero el Volumen del cilindro diferencial es la resta al cilindro exterior menos la parte hueca central, es decir que se restarán los radios (exterior - interior):  dV = π*h* [r(ext)^2 - r(int)^2], que podemos factorizar:

dV = π*h*[r(ext) + r(int)] * [r(ext) - r(int)].  Pero:

h=y;  r=x

[r(ext) - r(int)] = dr,  o:  dx;

Si hacemos el "promedio de los radios" sería:  r=[r(ext) + r(int)]/2;  por lo que:

2r= [r(ext) + r(int)].

Reemplazo en:  dV = π*h*[r(ext) + r(int)] * [r(ext) - r(int)].

dV = π*y*2x*dx;  integrando obtenemos V:

Para nuestro problema tenemos que restar al volumen formado por y=x, el correspondiente a y=x^2, entre los límites x=0 y x=1.

dV = π*2x* (x - x^2)*dx;  integro entre 0 y 1:

dV = 2π (x^2 - x^3)*dx;

| 2π * [ (1/3)x^3 - (1/4)x^4] |

2π * (1/12) - 0; 

V= π/6 unidades^3.