Errores en ángulos
Estoy haciendo un trabajo de investigación y necesito expresar el error de sensibilidad que tiene el aparato que mide los ángulos. El problema está en que después tengo que hacer senos y cosenos de ese valor y no sé cómo hacerlo con el error correspondiente:
sin(x+-y)
cos(x+-y)
Espero que entienda lo que le quiero decir y que me pueda ayudar o dar alguna referencia de alguna página que lo explique.
sin(x+-y)
cos(x+-y)
Espero que entienda lo que le quiero decir y que me pueda ayudar o dar alguna referencia de alguna página que lo explique.
2 Respuestas
Respuesta de eudemo
1
Tu pregunta se puede responder con o sin derivadas. No se cuales son tus conocimientos de cálculo y derivadas.
Por lo que veo y es el error del angulo x.
1.-Respuesta usando derivadas.
La derivada de sin(x)con respecto a x es cos(x)
Si y es un error pequeño de x entonces el error de sen(x) es:
Error del seno =cos(x) . y
La derivada de cos(x) con respecto a x es -sen(x)
Si y es un error pequeño de x entonces el error de cos(x) es:
Error del coseno =sen(x) . y
En principio el signo no importa porque para el error se toma el valor absoluto.
Nota: los ángulos se miden en radianes
2.-Respuesta sin derivadas.
El seno de la suma de dos ángulos es
sen(a+-b)=sen(a).cos(b)+cos(a).sen(b)
Siendo y el error de x, el error de seno de x es
sen(x+y)=cos(x).sen(y)+sen(x).cos(y)
El error del seno es
sen(x+y)-sen(x)=cos(x).sen(y)+sen(x).cos(y)-sen(x)
sen(x+y)-sen(x)=cos(x).sen(y)+sen(x).(cos(y)-1)
Si y es muy pequeño cos(y) es casi uno.
Ademas midiendo los ángulos en radianes sen(y) difiere muy poco de y
Entonces es
sen(x+y)-sen(x) aproximadamente igual a cos (x).y
Por lo que veo y es el error del angulo x.
1.-Respuesta usando derivadas.
La derivada de sin(x)con respecto a x es cos(x)
Si y es un error pequeño de x entonces el error de sen(x) es:
Error del seno =cos(x) . y
La derivada de cos(x) con respecto a x es -sen(x)
Si y es un error pequeño de x entonces el error de cos(x) es:
Error del coseno =sen(x) . y
En principio el signo no importa porque para el error se toma el valor absoluto.
Nota: los ángulos se miden en radianes
2.-Respuesta sin derivadas.
El seno de la suma de dos ángulos es
sen(a+-b)=sen(a).cos(b)+cos(a).sen(b)
Siendo y el error de x, el error de seno de x es
sen(x+y)=cos(x).sen(y)+sen(x).cos(y)
El error del seno es
sen(x+y)-sen(x)=cos(x).sen(y)+sen(x).cos(y)-sen(x)
sen(x+y)-sen(x)=cos(x).sen(y)+sen(x).(cos(y)-1)
Si y es muy pequeño cos(y) es casi uno.
Ademas midiendo los ángulos en radianes sen(y) difiere muy poco de y
Entonces es
sen(x+y)-sen(x) aproximadamente igual a cos (x).y
Análogamente para el error en el coseno usamos
cos(a+b)=cos(a).cos(b)-sen(a).sen(b)
cos(x+y)-cos(x)=cos(x).cos(y)-sen(x).sen(y)-cos(x)
cos(x+y)-cos(x)=cos(x).(cos(y)-1)-sen(x).sen(y)
si y es muy pequeño es cos(x+y)-cos(x) aproximadamente igual al
-sen(x).y
Como el error se toma siempre positivo es
Error del coseno =sen(x) . y
cos(a+b)=cos(a).cos(b)-sen(a).sen(b)
cos(x+y)-cos(x)=cos(x).cos(y)-sen(x).sen(y)-cos(x)
cos(x+y)-cos(x)=cos(x).(cos(y)-1)-sen(x).sen(y)
si y es muy pequeño es cos(x+y)-cos(x) aproximadamente igual al
-sen(x).y
Como el error se toma siempre positivo es
Error del coseno =sen(x) . y
Respuesta de rafaza
1
Puedes ver en la página:
http://vppx134.vp.ehu.es/fisica/agustin/errores/node16.html
en el caso concreto de
sen(x+x)
con un error en x de erx y un error en y de ery
el error de sen (x+y) seria:
|d(den(x+y)/dx|erx+|d(sen(x+y)/dy|ery.
|cos(x+y)|erx+ |sen(x+y)|erx
Cualquier función es igual de fácil si sabemos usar derivadas parciales.
http://vppx134.vp.ehu.es/fisica/agustin/errores/node16.html
en el caso concreto de
sen(x+x)
con un error en x de erx y un error en y de ery
el error de sen (x+y) seria:
|d(den(x+y)/dx|erx+|d(sen(x+y)/dy|ery.
|cos(x+y)|erx+ |sen(x+y)|erx
Cualquier función es igual de fácil si sabemos usar derivadas parciales.