Sumatoria de cosenos

Me ha llevado mucho tiempo encontrar la respuesta pero ya está.

En http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas#Paso_de_suma_a_producto

Tienes la formula que vamos a usar y muchas otras.

En concreto nos interesa:

cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]·sen[(a+b)/2]

Pero antes de nada vamos a poner la identidad que nos piden en grados sexagesimales, que con los radianes no se aclara nadie. Sabiendo que pi radianes = 180º tenemos pi/9 rads = 20º y es todo muy sencillo

Q = cos20º + cos60º + cos100º + cos140º

Aplicaré la fórmula a los dos últimos, incluso invirtiendo el orden que tienen para que no den cosenos negativos

Q= cos20º + cos60º + 2cos[(140º+100º)/2]·cos[(140º-100º)/2]=

cos20º + cos60º + 2·cos(120º)·cos(20º) =

El coseno de 120º es el mismo que el de 60º con signo menos. Eso se diría como que ángulos suplementarios tienen los cosenos opuestos. Pero en vez de memorizar miles de fórmulas es mejor visualices el dibujo de la circunferencia unidad con esos ángulos y lo comprendas.

Luego tenemos cos120º = -cos60º = -1/2, ya es hora de sustituir todo esto y queda

= cos20º + 1/2 + 2·(-1/2)·cos20º=

cos20º + 1/2 - cos20º = 1/2

Luego la respuesta es:

Q=1/2

---------------------------------------------

Si fuesen senos sería:

P = sen20º + sen60º + sen100º + sen140º

La formula a usar sería:

sen(a)+sen(b) = 2sen[(a+b)/2]·cos[(a-b)/2] y la aplicaríamos a los dos últimos pero con el orden cambiado para que no salgan cosenos negativos (que por otro lado da igual porque cosx = cos(-x), pero nos evitamos un paso)

P = sen20º + sen60º+ 2sen(120º)cos(20º)

El seno de 60 y el de 120 son iguales

P= sen20º+sen60º(1+2cos20º)

Podrás hacer mil pruebas infructuosas, por ejemplo:

Para empezar la reducimos todo a un problema en el primer cuadrante

sen100º = sen80º

sen140º = sen40º

P = sen20º + sen60º + sen40º + sen80º

si aplicas la fórmula a los ángulos 40 y 20 tienes

P = sen60 + sen80 + 2sen30cos10

como sen80=cos10

P=sen60+cos10(1+2sen30)

Y el cos10 es incalculable.

Y así cuantas pruebas quieras hacer. No se produce la magia que ha hecho la simplificación de los cosenos.

En conclusión

Para los cosenos la suma es 1/2

Para los senos no hay suma fácil, hay que usar la calculadora.