Caída libre y movimiento acelerado
Desde lo alto de un edificio se deja caer una piedra. A los 0,5 s después se lanza hacia abajo otra piedra con rapidez de 10 m/s. ¿Dónde alcanzará la segunda piedra a la primera? Usar g = 10 m/s2.
¿El método de resolución de éste problema puede ser empleado para resolver otros problemas de movimimiento acelerado en los cuales dos cuerpos lanzados en tiempos diferentes terminan alcanzándose uno al otro?
1 Respuesta
La fórmula general es:
$$\begin{align}&S=S_0+v_0t+ \frac{at^2}{2}\end{align}$$- a: Aceleración que es este caso es la gravedad g y según dice el ejercicio g=10 m/s^2
- v0: velocidad inicial
- s0: espacio inicial recorrido que en este caso tanto para la 1ª piedra como para la 2ª es "cero", por tanto la fórmula se reduce a:
$$\begin{align}&S=v_0t+\frac{at^2}{2}\end{align}$$Vamos a empezar por el caso de la 2ª piedra, su v0=10 m/s, por tanto:
$$\begin{align}&S=10t+\frac{10t^2}{2}\end{align}$$Caso de la 1ª piedra, v0 (velocidad inicial)= 0, pero esta piedra empezó a caer 0,5 segundos antes que la primera, como hemos llamado "t" al tiempo de caída de la primera piedra ésta otra llevará cayendo "t+0,5" segundos, por tanto
$$\begin{align}&S=\frac{10(t+0,5)^2}{2}\end{align}$$La 1ª piedra alcanzará a la 2ª cuando ambas lleven recorrido el mismo espacio, por tanto igualamos ambas expresiones y resolvemos y calculamos "t"
$$\begin{align}&S=10t+\frac{10t^2}{2}= \frac{10(t+0,5)^2}{2}\\&10t+5t^2=5(t+0,5)^2\\&10t+5t^2=5(t^2+t+0,25)\\&10t+5t^2=5t^2+5t+1,25\end{align}$$Como 5*t^2 está en ambos lados se nos anula (es caso contrario habría que haber resuelto una ecuación de 2º grado).
$$\begin{align}&10t=5t+1,25\end{align}$$Pasamos todo al 1º miembro
$$\begin{align}&5t=1,25\\&t=1,25/5=0,25\mathrm{s}\end{align}$$Sustituimos en la ecuación que da el recorrido de la 2ª piedra.
$$\begin{align}&S=10t+\frac{10t^2}{2}\\&\\&S=10·0,25+\frac{10·0,25^2}{2} = 2,5+(1/2)·10·0,0625=2,5+5·0,065=2,5+0,3125=2,8125\mathrm{m}\end{align}$$Si hubiésemos sustituido en la ecuación que da el recorrido de la 1ª piedra (S=(1/2)*10*(t+0,5)^2), el resultado es el mismo ya que en ambas ecuaciones "t" representa lo mismo, el tiempo del recorrido de la 2ª piedra.
Efectivamente por este método se pueden calcular cualquier problema donde un objeto alcanza a otro. No obstante hay que aclarar que este caso es una caída y por tanto en la fórmula general el componente donde está la aceleración se suma al componente de la velocidad. Pero si hubiese sido un lanzamiento vertical hacia arriba, el termino de la aceleración restaría a la velocidad. En general hay que tener en cuenta si la velocidad inicial y la aceleración van en el mismo sentido (entonces se suma) o van en sentidos opuestos (en cuyo caso se restan).
