Transformada de fourier

El tema de la transformada de Fourier gira (valga la expresión ) alrededor de la función senoidal
f(x) = A sen (w x + fi)
La función senoidal tiene propiedades muy convenientes . La principal es que la derivada de una función senoidal es otra función del mismo tipo. Esto simplifica mucho las ecuacines diferenciales. Jean Baptiste Joseph Fourier estaba estudiando las ecuaciones diferenciales de la conducción del calor en una barra y se dio cuenta de que
cuando las temprçeraturas iniciales eran una función cualquiera la cosa se complicaba bastante pero si si las temperaturas iniciles eran funciones senoidales del espacio o una suma de estas, la solución era fácil de hallar. Se dijo no sera posible expresar una función como suma de senoides de distintas frecuencias y la respuesta que dio fue afirmativa. Se presento a la Academia de Ciencias de Paris y les dijo :
Una función de cualquier forma se puede aproximar tan bien como queramos con una suma de senoides de distintas frecuencias y fases
Por supuesto que puede ser una suma finita o infinita. Resulta que los matemáticos de la Academia de Ciencias no le creyeron y demoraro diez años en darse cuanta de que tenia razón.
Supongamos que tengo una función f(t) donde x es una función del tiempo . Para definir esa función yo tengo que dar el valor de f que corresponde a cada x. Pero si yo expreso esa función como suma de senoides
f(t) = sumatoria en wi de A(wi) sen(wi t + fi(wi))
Ahora para definir f yo puedo dar las amplitudes A(wi) correspondientes a cada frecuencia temporal wi y la fase fi(wi) correspondiente a cada wi . He reeplazado el dominio del tiempo por el dominio de las frecuencias. A cada función del tiempo le corresponden las funcioes amplitud A(wi) de la frecuencia temporal wi . También debo tener la función fase fi(wi) correspondientes a cada wi. Estas frecuencias corresponden a frecuencias temporales porque surgen en la descomposición de una función del tiempo f(t). Si lo que quiero descomponer es una función del espacio f(x)
f(x) = sumatoria en wi de A(wi) sen(wi x + fi(wi))
Donde las frecuencias wi serán frecuencies espaciales.