Ascensor
Tengo una que hacer una relación de ejercicios y hay uno de ellos que no se por donde pillarlo! Je je!. A ver si m podéis echar una mano:"Un ascensor de 2500 kg esta sostenido por cuatro cables de acero trenzado(cte elástica del acero 200GPa)cada uno de los cuales tiene una sección recta eficaz de 1.2cm2.Calcule la máxima aceleración hacia arriba que puede darse al ascensor si el esfuerzo en cada cable no debe exceder del 35% del correspondiente al limite elastico:SOL:7M/S"MUCHAS GRACIAS DE NUEVO A TODO EL MUNDO QUE POR LO MENOS MUESTRA LEER EN LEER MI MENSAJE.
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Respuesta de Gabriel Martín
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Para resolver este problema hay que considerar que, en el funcionamiento de un ascensor, el peso de éste se equilibra con el de un contrapeso de igual masa en vacío; de esta forma el sistema consta de dos masas iguales que cuelgan a los extremos de cables que pasan por poleas en la parte superior, de forma que cuando uno sube el otro baja. De esta manera se alivia considerablemente la carga a que se someten los motores pues la potencia suministrada por éstos no se consume en sostener por completo la masa del ascensor (ya contrapesada) sino en elevar la diferencia de masas debida a la presencia variable de pasajeros y a la parte de cables no compensada cuando ascensor y contrapeso se encuentran a distinta altura (así como a vencer las fuerzas de rozamiento, por supuesto).
Habiendo considerado lo anterior resulta que los cables se encuentran sometidos a una tensión necesaria para soportar el peso del ascensor y su contrapeso (se desprecia el propio peso de los cables) a la que hay que sumar la necesaria para soportar la tensión debida al movimiento acelerado al que se somete el conjunto.
El límite elástico para el acero es T.lim = 500Mpa = 500*10^6 Pa.
(no confundir con la constante elástica del acero E = 200Gpa = 200*10^9 Pa, dato que no es necesario para el problema).
La tensión máxima a que se pueden someter los cables es un 35% del anterior valor:
T.max = T.lim*35/100 = 0,35*500*10^6 Pa = 175*10^6 Pa
Veamos que valor máximo de aceleración da lugar a que se alcance este valor máximo de tensión.
La fuerza transmitida por un solo cable será la que mantiene a un cuarto de la masa total del sistema con una aceleración ascendente a, de manera que la aceleración total debe contrarrestar además, la aceleración descendente de la gravedad. Teniendo en cuenta que la masa es doble de la del ascensor por lo comentado al principio, resulta:
T = F / A = M*(a+g) / 4A
donde M = 2*2500 Kg = 5000 Kg y A = 1,2*10^-4 m^2 es la sección recta eficaz de un solo cable.
El límite máximo como vimos era T.max = 175*10^6 Pa. Igualando:
M*(a+g) / 4A = T.max
a = T.max *4*A / M - g = [(175*10^6 *4*1,2*10^-4) / 5000 - 9,8] m/s^2
resultando:
a = 7 m/s^2
Habiendo considerado lo anterior resulta que los cables se encuentran sometidos a una tensión necesaria para soportar el peso del ascensor y su contrapeso (se desprecia el propio peso de los cables) a la que hay que sumar la necesaria para soportar la tensión debida al movimiento acelerado al que se somete el conjunto.
El límite elástico para el acero es T.lim = 500Mpa = 500*10^6 Pa.
(no confundir con la constante elástica del acero E = 200Gpa = 200*10^9 Pa, dato que no es necesario para el problema).
La tensión máxima a que se pueden someter los cables es un 35% del anterior valor:
T.max = T.lim*35/100 = 0,35*500*10^6 Pa = 175*10^6 Pa
Veamos que valor máximo de aceleración da lugar a que se alcance este valor máximo de tensión.
La fuerza transmitida por un solo cable será la que mantiene a un cuarto de la masa total del sistema con una aceleración ascendente a, de manera que la aceleración total debe contrarrestar además, la aceleración descendente de la gravedad. Teniendo en cuenta que la masa es doble de la del ascensor por lo comentado al principio, resulta:
T = F / A = M*(a+g) / 4A
donde M = 2*2500 Kg = 5000 Kg y A = 1,2*10^-4 m^2 es la sección recta eficaz de un solo cable.
El límite máximo como vimos era T.max = 175*10^6 Pa. Igualando:
M*(a+g) / 4A = T.max
a = T.max *4*A / M - g = [(175*10^6 *4*1,2*10^-4) / 5000 - 9,8] m/s^2
resultando:
a = 7 m/s^2
