Anónimo
Necesito que em ayudéis a resolver este ejercicio de corriente
Una corriente i(t)viene dada por la expresión
-2+3e^(-5t) A para t<0,
y -2+3e^(3t) A para t>0.
Determinar
a. I(0.2)
b. I(-0.2)
c. Los instantes en los que la corriente se anula
d. La carga total que ha pasado de izquierda a derecha a lo largo del conductor en el intervalo -0.8 < t < 1s
gracias por tu ayuda!
-2+3e^(-5t) A para t<0,
y -2+3e^(3t) A para t>0.
Determinar
a. I(0.2)
b. I(-0.2)
c. Los instantes en los que la corriente se anula
d. La carga total que ha pasado de izquierda a derecha a lo largo del conductor en el intervalo -0.8 < t < 1s
gracias por tu ayuda!
1 Respuesta
Respuesta de ricardonb
1
Tienes una función que relaciona la intensidad en cada instante en función del tiempo.
Cuando t<0, es decir, en el intervalo de t entre -infinito y 0, la función tiene el valor -2+3e^(-5t) A
Cuanto t>0, es decir, en el intervalo de t entre 0 e infinito, la función tiene el valor -2+3e^(3t) A
a) Sustituyendo el valor t=0.2 en la segunda ecuación (ya que t>0) se obtiene que i(0.2) = 2+3e^(3*(0.2)) = 3.466 A
b) Sustituyendo el valor t=-0.2 en la primera ecuación (ya que t<0) se obtiene que i(-0.2) = -2+3e^(-5*(-0.2)) = 6.1548 A
c) Si igualamos la primera ecuación a 0 tenemos :
-2+3e^(-5t) = 0 ------> e^(-5t) = 2/3 aplicando logaritmos
ln (e^(-5t)) = ln (2/3) --------> -5t = ln (2/3) -------> t = (-ln(2/3))/5 = 0.081
El valor obtenido está fuera del dominio para el que está definida la función (t<0), de modo que la función no se anula dentro del dominio para el que está definida.
Si igualamos la segunda ecuación a 0 tenemos:
-2+3e^(3t) = 0 ------> e^(3t) = 2/3 aplicando logaritmos
ln (e^(3t)) = ln (2/3) --------> 3t = ln (2/3) -------> t = (ln(2/3))/3 = -0.1351
El valor obtenido está fuera del dominio para el que está definida la función (t>0), de modo que la función no se anula dentro del dominio para el que está definida.
Así pues, la función nunca se anula.
d) La intensidad instantánea que nos da la función se mide en Amperios. Un Amperio, es la unidad de carga eléctrica por unidad de tiempo, es decir, un culombio por segundo.
Si se multiplica la intensidad por el tiempo se obtiene la carga eléctrica que ha circulado en ese intervalo de tiempo. Como en nuestro caso tenemos que la intensidad es variable con el tiempo lo que hay que hacer es la integral de la función intensidad en cada infinitésimo de tiempo dt para el intervalo pedido.
Así pues la carga total será la integral en el intervalo entre t=-0.8 y t=1 para la función intensidad. Como la función intensidad es diferente según t sea mayor o menor que 0 habrá que dividir el intervalo en 2 partes. Entre t=-0.8 y t=0 se aplicará la primera función, y entre t=0 y t=1 se aplicará la segunda función. Sumando ambas integrales obtendremos el resultado buscado.
Así pues la carga total entre -0.8s y 1s será:
Integral (entre t=-0.8 y t=0) de ((-2+3e^(-5t))*dt) + integral (entre t=0 y t=1) de ((-2+3e^(3t))*dt)
Haciendo estás integrales definidas se obtiene que es igual a 30.5588 + 17.0855 = 47.6443 Culombios
Cuando t<0, es decir, en el intervalo de t entre -infinito y 0, la función tiene el valor -2+3e^(-5t) A
Cuanto t>0, es decir, en el intervalo de t entre 0 e infinito, la función tiene el valor -2+3e^(3t) A
a) Sustituyendo el valor t=0.2 en la segunda ecuación (ya que t>0) se obtiene que i(0.2) = 2+3e^(3*(0.2)) = 3.466 A
b) Sustituyendo el valor t=-0.2 en la primera ecuación (ya que t<0) se obtiene que i(-0.2) = -2+3e^(-5*(-0.2)) = 6.1548 A
c) Si igualamos la primera ecuación a 0 tenemos :
-2+3e^(-5t) = 0 ------> e^(-5t) = 2/3 aplicando logaritmos
ln (e^(-5t)) = ln (2/3) --------> -5t = ln (2/3) -------> t = (-ln(2/3))/5 = 0.081
El valor obtenido está fuera del dominio para el que está definida la función (t<0), de modo que la función no se anula dentro del dominio para el que está definida.
Si igualamos la segunda ecuación a 0 tenemos:
-2+3e^(3t) = 0 ------> e^(3t) = 2/3 aplicando logaritmos
ln (e^(3t)) = ln (2/3) --------> 3t = ln (2/3) -------> t = (ln(2/3))/3 = -0.1351
El valor obtenido está fuera del dominio para el que está definida la función (t>0), de modo que la función no se anula dentro del dominio para el que está definida.
Así pues, la función nunca se anula.
d) La intensidad instantánea que nos da la función se mide en Amperios. Un Amperio, es la unidad de carga eléctrica por unidad de tiempo, es decir, un culombio por segundo.
Si se multiplica la intensidad por el tiempo se obtiene la carga eléctrica que ha circulado en ese intervalo de tiempo. Como en nuestro caso tenemos que la intensidad es variable con el tiempo lo que hay que hacer es la integral de la función intensidad en cada infinitésimo de tiempo dt para el intervalo pedido.
Así pues la carga total será la integral en el intervalo entre t=-0.8 y t=1 para la función intensidad. Como la función intensidad es diferente según t sea mayor o menor que 0 habrá que dividir el intervalo en 2 partes. Entre t=-0.8 y t=0 se aplicará la primera función, y entre t=0 y t=1 se aplicará la segunda función. Sumando ambas integrales obtendremos el resultado buscado.
Así pues la carga total entre -0.8s y 1s será:
Integral (entre t=-0.8 y t=0) de ((-2+3e^(-5t))*dt) + integral (entre t=0 y t=1) de ((-2+3e^(3t))*dt)
Haciendo estás integrales definidas se obtiene que es igual a 30.5588 + 17.0855 = 47.6443 Culombios