Unos problemas de calculo
Estoy con unos problemas que tengo que entregar para el martes o sino pierdo calculo diferencial, porque la nota que me da me salvaría el semestre pero no he podido hacerlos, incluso le pedí ayuda a un amigo que va mas adelantado y tampoco pudo, yo ya te había mandado uno el de el deposito paralelepipedico.
El tema es razones de cambio, usando derivadas, tengo 6 problemas de los cuales resolví el primero ( con algo de la idea que me planteaste), pero el segundo me falta la respuesta 2 que no le pude ver la solución, pase toda la tarde con ese ejercicio y no pude, igual los otros, no pude. Muchas gracias por tu colaboración, espero que no me este aprovechando de ti, te pondré el primer ejercicio y los otros en otras preguntas.
De un recipiente cónico de 3 metros de radio y 10 de profundidad sale agua a razón de 4 metros cúbicos por minuto.
Hallar la variación, con respecto al tiempo, ¿de la altura de la super? Cie libre y del radio de esta cuando la profundidad
del agua es de 6 metros. Solución. 100/811: m/min, lO/27n m/min
1 Respuesta
El mayor problema está en el lenguaje. Lo primero no nos dicen si el cono está con el vértice hacia arriba o hacia abajo. Supondré que esta hacia arriba. Y lo segundo, la expresión profundidad del agua sigo sin entenderla, a mi que me digan a que altura está el agua respecto de la base o cuanto falta para estar lleno pero esa expresión es confusa. Para empezar supondré que es la altura del agua.
Supongamos que la altura del agua es h entre 0 y 10. Al 0 le corresponden 3 m de radio y al 10 le corresponden 0m de radio. Cada 10 metros de altura se pierden 3 de radio,
10 ---->-3
h ------> x
x= -3h/10 metros de radio que se pierden
luego para una altura h el radio será
r = 3 - 3h/10
y la altura en función del radio sería
h = 10(3-r)/3
Ahora consideramos un tiempo t medido en minutos. La cantidad de litros perdidos será 4t
Veamos cuanto ha descendido el nivel el volumen desalojado en ese tiempo t corresponde a un tronco de cono, cuyo volumen es el volumen del cono que queda después menos el del principio.
Y el volumen de un cono es
V = Pi·r^2·h/3
Pero cuidado que la h de la fórmula es lo que hay por arriba y lo que llamaba h era lo que había por abajo. Sea s el nuevo radio tras salir los 4t litros y g la nueva altura
volumen desalojado = 4t = (Pi/3) [s^2·(10-g) - r^2·(10-h)]
Pero arriba habíamos calculado la altura en función del radio
4t =(pi/3)[s^2(10-10(3-s)/3) - r^2(10-10(3-r)/3]
4t =(pi/3)[s^2(30-30+10s)/3 - r^2(30-30+10r)/3
4t =(10·pi/9) (s^3-r^3)
s = [(36t/10pi) +r^3]^(1/3)
Y la variación instantánea del radio será
$$\begin{align}&\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt[3]{\frac{36t}{10\pi}+r^3}-r}{t}=\\ &\\ &\lim_{t \to 0}\frac{\left(\sqrt[3]{\frac{36t}{10\pi}+r^3}-r\right)\left(\sqrt[3]{\left(\frac{36t}{10\pi}+r^3\right)^2}+r \sqrt[3]{\frac{36t}{10\pi}+r^3}+r^2 \right)}{t\left(\sqrt[3]{\left(\frac{36t}{10\pi}+r^3\right)^2}+r \sqrt[3]{\frac{36t}{10\pi}+r^3}+r^2 \right)}=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{t \to 0}\frac{\frac{36t}{10\pi}+r^3-r^3}{t\left(\sqrt[3]{\left(\frac{36t}{10\pi}+r^3\right)^2}+r \sqrt[3]{\frac{36t}{10\pi}+r^3}+r^2 \right)}=\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{36}{10\pi}}{r^2+r^2+r^2}=\frac{6}{5\pi r^2}\end{align}$$Esa es la variación del radio
Cuando la altura es 6m el radio es r=3 - 3·6/10 = 3 -18/10 = 12/10 = 6/5
Variación radio = 6 / [5Pi(6/5)^2] = 6·25 / [5·36·Pi] = 5/(6Pi) = 0.2652582385 m/min
Bueno, no terminé pero tengo que dejarlo ahora.
Si la interpretación de profundidad del agua fuera la otra la altura sería 4, entonces
r = 3 - 3·4/10 = 3-12/10 = 18/10 = 9/5
Variación radio = 6/[5Pi(9/5)^2] =6·25/[5·81pi] = 0.1178925504 m/min
Creo que no coincide ninguno.
Veamos como sería la variación de la altura.
Partimos de
volumen desalojado = 4t = (Pi/3) [s^2·(10-g) - r^2·(10-h)]
Y ahora pondremos los radios en función de las alturas r = 3 - 3h/10 y queda
4t = (Pi/3)[(3-3g/10)^2·(10-g) - (3-3h/10)^2·(10-h)]
$$4t = \frac {\pi}{3}\left[\left(9+\frac{9g^2}{100}-\frac{18g}{10} \right)(10-g)-\left(9+\frac{9h^2}{100}-\frac{18h}{10} \right)(10-h) \right]$$¡Uff! Eso es para morirse.
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Empezamos de nuevo.
Damos por bueno que siendo h la altura del agua respecto de la base el radio mide
r = 3 - (3h/10)
y que la altura respecto el radio es
h = 10(3-r)/3
En un tiempo t el deposito se ha vaciado en 4t litros
Esos 4t litros son el volumen de un cono en la parte superior del cual intentaríamos calcular así el volumen
4t = (pi/3)·r^2·(10-h) =
(pi/3)r^2[10-10(3-r)/3] =
(pi/3)r^2(30-30+10r)/3 =
(pi/3)r^2(10r)/3 =
(10/9)pi·r^3
4t = (10/9)pi·r^3
r = [18t/(5pi)]^(1/3)
$$\begin{align}&r(t)=\sqrt[3]{\frac{18t}{5\pi}}\\ &\\ &\\ &r´(t)=\frac 13·\frac{18}{5\pi}·\left(\frac{18t}{5\pi} \right)^{-2/3}=\\ &\\ &\frac{6}{5\pi}\left(\sqrt[3]{\frac{5\pi}{18t}}\right)^2=\frac{6}{5\pi}\left(\frac 1r \right)^2=\frac{6}{5\pi r^2}\\ &\\ &\text{Luego la derivada en función de la propia función es:}\\ &\\ &r'(r) =\frac{5}{6\pi r^2}\\ &\\ &\\ &\text {Y para h=6 tenemos:}\\ &\\ &r= 3-\frac{3·6}{10}= \frac 65\\ &\\ &r´(6/5) = \frac{6}{5\pi \left(\frac 65\right)^2}=\frac{5}{6\pi}\approx 0.2652582385\\ &\\ &\end{align}$$Vale, la parte de la variación del radio es como antes.
Ahora ponemos la formula de volumen desalojado en función de la altura
$$\begin{align}&4t= \frac{\pi}{3}r^2(10-h)=\\ &\\ &\frac{\pi}{3}\left(3-\frac{3h}{10}\right)^2(10-h)=\\ &\\ &\frac{\pi}{3}\left(\frac{30-3h}{10} \right)^2(10-h)=\\ &\\ &\frac{\pi}{3}\left(\frac{3}{10} \right)^2(10-h)^2(10-h)=\\ &\\ &\frac{3\pi(10-h)^3}{100}\\ &\\ &4t =\frac{3\pi(10-h)^3}{100}\\ &\\ &(10-h)^3=\frac{81t}{25\pi}\\ &\\ &h(t)=10-\sqrt[3]{\frac{400t}{3\pi}}\\ &\\ &\\ &h'(t) = -\frac 13·\frac{400}{3\pi}\left(\sqrt[3]{\frac{3\pi}{400t}}\right)^2 =\\ &\\ &-\frac{400}{9\pi}\left(\frac{1}{10-h}\right)^2\\ &\\ &\text{La derivida de la altura en función de sí misma es:}\\ &\\ &h´(h) = -\frac{400}{9\pi(10-h)^2}\\ &\\ &h´(h=6)= -\frac{400}{9\pi·4^2}=-\frac{25}{9\pi}\approx\\ &\\ &-0.8841941283 \;m/min\end{align}$$Creo que esto segundo se podría haber hecho más sencillo
$$\begin{align}&\frac{dh}{dt}= \frac{dh}{dr}·\frac{dr}{dt}\\ &\\ &h(r) = \frac{10(3-r)}{3}\\ &\\ &\frac{dh}{dr}=-\frac{10}{3}\\ &\\ &\frac{dh}{dt}=-\frac{10}{3}\frac{5}{6\pi}=-\frac{25}{9\pi}\approx \\ &\\ &-0.8841941283 \;m/min\end{align}$$Esto es agotador y encima creo que la interpretación de la altura es justo la contraria de la que pedía el ejercicio.
Si las quieres con la otra interpretación mandalo en una pregunta nueva. De esta ya estoy cansadísimo.
