Aplicación de las derivadas en problemas

Veamos la relación entre el área, radio y altura (o generatriz que dices).
A = 2 x (Area circulo base) + pared  
A = 2 x (Area circulo base) + (circunferencia base) x altura
A = 2pi·r^2 + 2pi·r·h 
donde pi es lo que se supone = 3,1415927..., h es la altura y r el radio.
El área total que nos dan nos servirá para relacionar las dos variables:
150 = 2pi·r^2 + 2pi·r·h
Lo más sencillo es despejar h
2pi·r·h = 150 - 2pi·r^2
h = (150 - 2pi·r^2) / (2pi·r) = (75 - pi·r^2) / pi·r = 75/(pi·r) - r                           [1]
Ahora vamos a ver la función del función del volumen, en primcipio depende de r y h.
V(r,h) = (Area círculo base) x altura = pi(r^2)h
Pero como habíamos despejado antes h (véase la igualdad marcada con [1]) podremos sustituirla
y nuestro volumen será función solo del radio:
V(r) = pi(r^2)(75/(pi·r) - r)  = 75r - pi·r^3
Ahora derivaremos e igaularemos a cero la función volumen para calcular los máximos, mínimos o lo que salga.
V'(r) = 75 - 3pi·r^2 = 0  ==>  3pi·r^2 = 75  ==>  r^2 = 25/pi  ==>
r = sqrt(25/pi) = sqrt(25/3,1415927) = sqrt(7,9577472) = 2,8209479 cm
No tiene sentido la respuesta con r la raíz cuadrada negativa y es intuitivo que esta va a ser un máximo relativo, pero lo comprobamos. Si la derivada segunda es negativa en ese punto, será un máximo:
V''(r) = - 6pi·r  que es negativa para el punto que estudiamos
Luego
r = 2,8209479 cm
h = 75/(pi·r) - r = 75/(3,1415927 · 2,8209479) - 2,8209479 =
= 75/8,8622692 - 2,8209479 = 8,4628438 - 2,8209479
h = 5,6418959 cm
Como curiosidad puede verse que la altura es dos veces el radio, o lo que es lo mismo,
la altura es igual al diámetro.
Y eso es todo. Espero que te haya servido y lo hallas entendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta. Si te ha gustado la resolución también puedes mandarme directamente los problemas.
Un saludo.
Ah, el otro problema lo resolveré más tarde que ahora tengo faenas inexcusables.

Quien puede hacer ese ejercicio.