Distancia mínima o perpendicular

La distancia se mide a lo largo de la perpendicular. La proyección de un vector sobre la perpendicular a otro se obtiene con un producto vectorial.
Sea: P1=(x1;y1;z1) el punto cuya distancia a la recta queremos calcular
Sea: (x1-x0)/mx=(y1-y0)/my=(z1-z0)/mz la ecuación de la recta
Donde:
Mx, my, mz son los números directores
y el vector V= mx i+ my j+ mz k es el vector director de la recta.
Primero necesitamos un punto cualquiera en la recta. En la ecuación vemos que el punto Po=(x0;y0;z0) evidentemente pertenece a la recta.
El vector P1P0 =(x1-x0)i+(y1-y0)j+ (z1-z0)k va desde un punto Po de la recta al punto P1
Ahora hacemos el producto vectorial V ^ P1P0
Luego sacamos su módulo y lo dividimos por el modulo de V y esa es la distancia pedida. La expresión final es un poco larga como para escribirla aquí en letras, pero con números no es difícil
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Nota: como ya sabemos, si multiplicamos o dividimos a los números directores mx my mz por un mismo numero no alteran es decir los números obtenidos siguen expresando la dirección de la recta.
Si dividimos a mx my mz por el modulo (mx^2+my^2+mz^2)^(1/2) transformamos el vector director en un versor director.
Sus componentes
mx/(mx^2+my^2+mz^2)^(1/2)
my/(mx^2+my^2+mz^2)^(1/2)
mz/ (mx^2+my^2+mz^2)^(1/2)
Son los cosenos directores de la recta .
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La distancia del punto a la recta será el módulo del producto vectorial de P1P0 por el versor director. No hace falta dividir por el módulo del versor director porque el módulo de un versor vale uno.
Saludillos
Eudemo