A integrar...

Para la 1) ... no te gastes
e^(- x^2) es la famosa campana de Gauss.
Su integral es la función error y no puede ponerse en términos de funciones elementales.
Se la conoce como función Erf(x). Es decir que
S e^(- x^2) = Erf(x)
Para calcularla numéricamente se usan métodos de integración numérica como desarrollos en series infinitas y se publican las correspondientes tablas. Que vas a tener que usar cuando estudies estadística
2) Es raíz de x por una constante.? Creo que quisiste escribir otra cosa

Efectivamente aunque no me sonara, finalmente era una campana, no te imaginás lo que insulté a las matemáticas por culpa de esa maldita integral.
Si si, en la otra función me confundí notablemente. Cuando puse esto:
2) S x^(1/2) e^(1/2)
en realidad quise poner esto:
2) S x^(1/2) e^(x^(1/2))
Es decir: Raíz de POR por e a la raíz de x

Con la sustitución natural y luego integrando por partes dos veces sale.
Veamos:
Integral x^(1/2) e ^(x^(1/2)) dx =
x^(1/2) = t
x = t^2
dx = 2 t dt
********
Integral 2 t^2 e ^t dt =
= 2 Integral t^2 e ^t dt = por partes
= 2 Integral t^2 de ^t =
= 2 t^2 e ^t - 2 Integral e ^t d(t^2) =
= 2 t^2 e ^t - 2 Integral 2 t e ^t dt =
= 2 t^2 e ^t - 4 Integral t e ^t dt =
= 2 t^2 e ^t - 4 Integral t d e ^t = por partes
= 2 t^2 e ^t - 4 Integral t d e ^t =
= 2 t^2 e ^t - 4 ( t e ^t -Integral e ^t dt ) =
= 2 t^2 e ^t - 4 ( t e ^t - e ^t ) =
= 2 t^2 e ^t - 4 ( t e ^t - e ^t ) =
= 2 t^2 e ^t - 4 t e ^t +4 e ^t =
= e ^t (2 t^2 - 4 t + 4 ) =
= e ^(x^(1/2)) [ 2 x - 4 x^(1/2) + 4 ]