Ecuaciones implícitas de un subespacio

1. Lo primero que tienes que hacer es averiguar cuales de los vectores que generan tu subespacio son linealmente independientes. Para ello, colocas dichos vectores generadores en forma de matriz y aplicas el método de Gauss:
1 0 3 -2 1
3 -2 -3 6 9
2 -1 0 2 5
5 4 7 2 3
4 1 2 4 6
Aplicando Gauss, a esta matriz, en un momento del proceso se obtiene:
1 0 3 -2 1
0 -2 -12 12 6
0 0 0 0 0
0 0 -32 36 10
0 0 -16 18 5
Con esto se ve que el rango de la matriz es 3. Hay por tanto tres vectores linealmente independientes. Eligiendo los más sencillos estos vectores son:
(1,0,3,-2,1), (0,-2,-12,12,6) y
(0,0,-16,18,5)
2. Ahora se debe establecer la condición que debe cumplir un vector (u, v, por, y, z) para pertenecer a ese subespacio. Esta condición es:
(u,v,x,y,z) = A*(1,0,3,-2,1)+
B*(0,-2,-12,12,6)+C*(0,0,-16,18,5)
Estas ecuaciones constituyen las "ecuaciones paramétricas" del subespacio.
3. Las ecuaciones implícitas se obtienen eliminando los parámetros A, B y C de estas expresiones. Para ello hay que tener en cuenta que:
u=A
v=-2B
x=3A-12B-16C
y=-2A+12B+18C
z=A+6B+5C
4. Despejando A, B y C de las tres primeras ecuaciones se tiene:
A=u
B=-v/2
C=u*3/16+v*3/8-x*1/16
5. sustituyendo A, B Y C en las dos últimas ecuaciones se obtiene:
y=u*11/8 +v*3/4-x*9/8
z=u*31/16-v*9/8-x*5/16
Estas son las "ecuaciones implícitas" del subespacio.
Espero que te sea útil.
Si tienes alguna duda no dejes de preguntar.
Bocasmar