Fórmula de moivre
Hola, me han pedido como ejercicio lo siguiente: si z= |z|(cos n fi + i sen n fi) = |z|e^ifi y n ? N, y tengo q comprobar aplicando induccion que:
z^n = |z|^n (cos nfi + i sen nfi)= |z|^n e^infi.
Si m pudieran ayudar se lo agradecería mucho, gracias.
z^n = |z|^n (cos nfi + i sen nfi)= |z|^n e^infi.
Si m pudieran ayudar se lo agradecería mucho, gracias.
Respuesta de bocasmar
1
En primer lugar sea un número complejo Z con módulo |Z| y argumento fi. Con estos datos el número Z se puede expresar de las siguiente formas, equivalentes entre si:
Z=|z|*(cos (fi) + i sen (fi))
Z=|z|*e^(i fi)
Aplicando induccion vamos a demostrar que:
z^n = |z|^n * (cos(nfi) + i sen (nfi))
= |z|^n e^(i nfi).
Se puede utilizar cualquiera de las dos expresiones para demostratrlo pues son equivalentes ya que por la fórmula de Moivre se tiene:
e^(i alpha) = cos(alpha) + i sen(alpha).
Como ambas expresiones son equivalentes lo más sencillo es utilizar la notación exponencial:
Z=|z|*e^(i fi)
Paso 1. Comprobar que la expresión se cumple -es cierta- para n=1.(Esta parte suele ser tan sencilla que incluso parece una tontería y, a veces, no se entiende bien)
En este caso tenemos que ver si es cierto que:
z^1 = |Z|^1* e^(i 1fi),
pero
z^1 = Z
|Z|^1 = |Z| y
e^(i 1fi) = e^(i fi)
Con lo cual la expresión se convierte en Z=|z|*e^(i fi) (que sabemos es una expresión cierta por ser la definición de Z)
Paso 2. SUpongamos que es cierto que:
z^n =|z|^n*e^(i nfi).
Paso 3. Demostrar que esto mismo es cierto para n+1. Esto es, demostrar que se cumple que:
z^(n+1) =|z|^(n+1) * e^(i (n+1)fi).
Esto se hace de la siguiente forma:
Z^(n+1) = Z^n*Z =|z|^n * e^(i nfi)*|z|* e^(i fi) =
(|z|^n*|z|)*(e^(i nfi)*e^(i fi)).
Pero
|z|^n*|z| = |z|^(n+1)
(e^(i nfi)*e^(i fi)) = e^(i nfi + i fi) = e^(i (n+1)fi)
Con lo cual queda demostrado que
z^(n+1) =|z|^(n+1)*e^(i (n+1)fi)
Si ahora se aplica la fórmula de Moivre a
e^(i (n+1)fi) = cos((n+1)fi) + i sen((n+1)fi)
Se acaba concluyendo que
z^(n+1) =|z|^(n+1)*e^(i (n+1)fi) =
|z|^(n+1)*(cos((n+1)fi) + i sen((n+1)fi))
Z=|z|*(cos (fi) + i sen (fi))
Z=|z|*e^(i fi)
Aplicando induccion vamos a demostrar que:
z^n = |z|^n * (cos(nfi) + i sen (nfi))
= |z|^n e^(i nfi).
Se puede utilizar cualquiera de las dos expresiones para demostratrlo pues son equivalentes ya que por la fórmula de Moivre se tiene:
e^(i alpha) = cos(alpha) + i sen(alpha).
Como ambas expresiones son equivalentes lo más sencillo es utilizar la notación exponencial:
Z=|z|*e^(i fi)
Paso 1. Comprobar que la expresión se cumple -es cierta- para n=1.(Esta parte suele ser tan sencilla que incluso parece una tontería y, a veces, no se entiende bien)
En este caso tenemos que ver si es cierto que:
z^1 = |Z|^1* e^(i 1fi),
pero
z^1 = Z
|Z|^1 = |Z| y
e^(i 1fi) = e^(i fi)
Con lo cual la expresión se convierte en Z=|z|*e^(i fi) (que sabemos es una expresión cierta por ser la definición de Z)
Paso 2. SUpongamos que es cierto que:
z^n =|z|^n*e^(i nfi).
Paso 3. Demostrar que esto mismo es cierto para n+1. Esto es, demostrar que se cumple que:
z^(n+1) =|z|^(n+1) * e^(i (n+1)fi).
Esto se hace de la siguiente forma:
Z^(n+1) = Z^n*Z =|z|^n * e^(i nfi)*|z|* e^(i fi) =
(|z|^n*|z|)*(e^(i nfi)*e^(i fi)).
Pero
|z|^n*|z| = |z|^(n+1)
(e^(i nfi)*e^(i fi)) = e^(i nfi + i fi) = e^(i (n+1)fi)
Con lo cual queda demostrado que
z^(n+1) =|z|^(n+1)*e^(i (n+1)fi)
Si ahora se aplica la fórmula de Moivre a
e^(i (n+1)fi) = cos((n+1)fi) + i sen((n+1)fi)
Se acaba concluyendo que
z^(n+1) =|z|^(n+1)*e^(i (n+1)fi) =
|z|^(n+1)*(cos((n+1)fi) + i sen((n+1)fi))
