Demostraciones
Deducir una fórmula para
Sen alpha -sen bheta en términos de (alpha+bheta/2) y (alpha-bheta/2)
Cos 2theta en funcion de theta
Sen 2teta en cuncion de teta.
Sen alpha -sen bheta en términos de (alpha+bheta/2) y (alpha-bheta/2)
Cos 2theta en funcion de theta
Sen 2teta en cuncion de teta.
1 Respuesta
Respuesta de Dani BP
1
La clave es demostrar las fórmulas para la suma/resta de ángulos
En el siguiente enlace puedes encontrar la demostración
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/suma_y_diferencia.htm
Una vez demostrado estas dos fórmulas, para expresar sen 2theta y cos 2theta en función de theta tan solo tienes que sustituir x= theta e y = theta en las fórmulas del seno y coseno de la suma. Así, te quedará
sen(2theta) = 2sen(theta)cos(theta)
cos(2theta) = cos(theta)^2 - sen(theta)^2
Para expresar sen alpha - sen beta en términos de (alpha+beta/2) y (alpha-beta/2)
necesitamos primero demostrar esta fórmula
que se obtiene de escribir por separado la fórmula
y restarlas. Es decir:
sen(x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
sen(x-y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)
ahora restamos:
sen(x+y) - sen(x-y) = 2cos(x)sen(y)
y dividiendo la igualdad entre 2 tenemos
Finalmente tan solo queda sustituir x= (alpha + beta)/2 e y=(alpha - beta)/2 quedando
2cos((alpha + beta)/2) sen((alpha - beta)/2) = sen(alpha) - sen(beta)
Que es lo que queríamos demostrar.
En esta página explican bastantes cosas de las identidades trigonométricas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas
En el siguiente enlace puedes encontrar la demostración
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/suma_y_diferencia.htm
Una vez demostrado estas dos fórmulas, para expresar sen 2theta y cos 2theta en función de theta tan solo tienes que sustituir x= theta e y = theta en las fórmulas del seno y coseno de la suma. Así, te quedará
sen(2theta) = 2sen(theta)cos(theta)
cos(2theta) = cos(theta)^2 - sen(theta)^2
Para expresar sen alpha - sen beta en términos de (alpha+beta/2) y (alpha-beta/2)
necesitamos primero demostrar esta fórmula
que se obtiene de escribir por separado la fórmula
y restarlas. Es decir:
sen(x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
sen(x-y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)
ahora restamos:
sen(x+y) - sen(x-y) = 2cos(x)sen(y)
y dividiendo la igualdad entre 2 tenemos
Finalmente tan solo queda sustituir x= (alpha + beta)/2 e y=(alpha - beta)/2 quedando
2cos((alpha + beta)/2) sen((alpha - beta)/2) = sen(alpha) - sen(beta)
Que es lo que queríamos demostrar.
En esta página explican bastantes cosas de las identidades trigonométricas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas
Eso es en función de theta
Exacto,
tal y como pedías, las fórmulas son
sen(alpha) - sen(beta) = 2cos((alpha + beta)/2) sen((alpha - beta)/2)
sen(2theta) = 2sen(theta)cos(theta)
Cos(2theta) = cos(theta)^2 - sen(theta)^2
de esta manera expresas, por ejemplo, sen(2theta) en función de theta, o sea, con una función que solamente depende de theta, que en este caso es 2sen(theta)cos(theta). Y lo mismo para las otras dos fórmulas.
tal y como pedías, las fórmulas son
sen(alpha) - sen(beta) = 2cos((alpha + beta)/2) sen((alpha - beta)/2)
sen(2theta) = 2sen(theta)cos(theta)
Cos(2theta) = cos(theta)^2 - sen(theta)^2
de esta manera expresas, por ejemplo, sen(2theta) en función de theta, o sea, con una función que solamente depende de theta, que en este caso es 2sen(theta)cos(theta). Y lo mismo para las otras dos fórmulas.
