Demostración de la ecuación de un plano

Para determinar un plano se necesitan un punto Po(pero, yo, zo) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo
Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.
a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma: B.y + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
b) Plano paralelo al eje HOY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + C.z + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma: A.x + B.y + D = 0
Siendo el vector director normal al plano de la forma:
d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + B.y + C.z = 0
e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma: C.z + D = 0 ; z = Cte.
Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.
f) Plano perpendicular al eje HOY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:
B.y + D = 0 ; y = Cte.
g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + D = 0 ; x = Cte.
Plano que pasa por dos puntos.- Siendo Po, P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:
Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:
Como caso particular de esta ecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos
x = a ; y = b ; z = c.
Según lo anterior se tiene:
Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z)
Y la ecuación segmentaría del plano quedará en la forma:
Y desarrollando el determinante:
b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c
o, lo que es igual :
Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma: