Aplicaciones del rotacional, divergencia, gradiente y laplaciano en cálculo vectorial?

Suponiendo que tienes algunos conocimientos de algebra vectorial... se podrían ilustrar algunos de los temas que pedís... perdon por el "verso" pero no es un tema que se pueda resumir mucho...

Todo lo que pedis son operadores específicos de los Campos Escalares y Vectoriales.

El más sencillo de ver sería el concepto de Gradiente.

Viendo un mapa orográfico aprecias las llamadas líneas de nivel. Si te ubicas físicamente sobre una de las líneas de nivel y soltas un carrito el mismo se deslizara siempre hacia líneas de menor nivel ... La fuerza de arrastre del carrito depende de la pendiente del punto... o sea de la (delta altura) / (delta distancia). Claro que habrá una dirección para la cual la fuerza sea máxima ... esa dirección de máxima pendiente ( variable de punto a punto) se denomina gradiente y es una cantidad vectorial.

En este caso del carrito que desciende por una pendiente... lo hará siempre perpendicular a las líneas de nivel... o sea en la dirección de máxima pendiente.

Siendo la altura determinante de la energía potencial gravitatoria = P ...(función del nivel del carrito)... y el punto del espacio considerado con coordenadas x, y, z

se define el vector Grad. P = (dP/dx) i +     (dP/ dy) j + ( dP/dz) k......... leer como derivadas parciales.

Se demuestra matemáticamente que la dirección del vector gradiente de P es la de la máxima variación de la función.

Luego el vector gradiente representa la variación del campo escalar (P) por unidad de longitud en una dirección deter minada.

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La variación de un campo vectorial se representa por medio de un operador llamado "Divergencia".

Si se tiene un campo vectorial V... la divergencia se define como un escalar ( + o -) ..

Div. V =  dVx/dx + dVy/dy + dVz/dz    leer como derivadas parciales.

Esto puede pensarse al circula ragua libremente por una cañería de gran diámetro y sin rozamiento. Cada partícula de agua está animada de una velocidad V…(todas a la misma velocidad V) ….. Si aislamos un volumen interior del caño y analizamos la cantidad de agua que entre y sale del volumen interior…sabemos que será la misma…o sea entra tanta agua como sale porque el líquido no se comprime ni se expande…Asi se dice que el campo vectorial de velocidades del líquido circulante tiene divergencia = 0. No hay zonas interiores del volumen que acumulen( divergencia +) líquido ni las hay que lo hagan desaparecer

( Divergencia -).

Ahora Si suponemos una cañería cerrada por ambos lados conteniendo un gas a presión y abrimos uno de los extremos…el análisis anterior sobre el volumen nos daría distinto…ya que las velocidades de salida del lado abierto serán mayores que las de entrada del lado cerrado…. Aquí div V será distinto de cero…habrá una divergencia del campo de V. (-).

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Otro operador a considerar dentro de un campo vectorial es el rotacional o rotor ( o curl).

El nombre “ rotor” da idea de una rueda. Podemos pensarlo como una ruedita infinitesimal cuyo giro indica un sentido (+ a derecha y – a izquierda) y cuyo eje indica una dirección.

O sea este “ rotor” será un vector derivado del campo que analizamos.

El caso clásico es la salida del agua o desagote de una bañera. El líquido está girando en un sentido definido. Si ubicamos la ruedita dentro del flujo que está saliendo.. la misma girará siempre cualquiera sea su ubicación…dentro del flujo saliente. Luego en este movimiento el campo de velocidades será rotacional…y tendrá un vector “rot.V” Distinto de cero. Aquí se aplica la regla del tirabuzón para definir dirección del rotor. Si se conoce el sentido de giro.

Lo mismo se da en canales donde el agua ( o líquido) está circulando con frotamiento. La velocidad es menor conforme nos acercamos a las paredes. Luego nuestra ruedita girará en el interior del agua. Aquí se dice que el campo de velocidades del líquido circulante también es rotacional…o sea tiene rotor distinto de cero. Si diseñamos conductos y curvas tratando de que nuestra ruedita no gire ( o lo haga solamente en determinadas zonas) tendremos menores pérdidas de circulación. Es decir el rotor está asociado a energía de pérdidas o torbellinos durante la circulación de líquidos. También los diseños aerodinámicos de vehículos facilitan el traslado tratando de minimizar las pérdidas por frotamiento.

La expresión matemática del vector “rotor” ya la conocerás y da un vector. Cada componente del vector “rotor” sería el que sale de colocar el eje de la ruedita paralelo a los ejes coordenados.

El operador puntual “nabla” en si no tiene ningún sentido concreto. Si lo aplicamos sobre un campo escalar….. nos da el gradiente..

Nabla multiplicado escalarmente por un Campo vectorial nos da la divergencia del campo.. Nabla multiplicada vectorialmente por un campo vectorial nos da el rotor del campo.

Si planteamos la div ( grad) de un campo vectorial obtenemos otro escalar….. que por su importancia tiene un nombre especial : Laplaciano.

Este escalar es en general distinto de cero. El rotor de un gradiente y la divergencia de un rotor son siempre iguales a cero.

Lo demás ya es desarrollo de cálculo vectorial.

El estudio de los campos electromagnéticos llevo a la obtención de las famosas ecuaciones de Maxwell en donde son de aplicación todos los operadores vistos.