¿Demostrar qué raíz de 21 es un numero irracional?

Supodremos que raíz cuadrada de 21 es un número racional y llegaremos al absurdo que ya conocemos para raíz de 2. En realidad, toda raíz cuadrada de un número natural o es un número natural exacto o es un irracional, no hay término medio.
Supongamos que sqrt(21) = p/q  con "p" y "q" elegidos de forma que sean primos entre sí.
Elevando al cuadrado
21 = p^2 / q^2
21·q^2 = p^2
Esto quiere decir que p^2 debe ser múltiplo de 21. Si tomamos la descomposición en factores primos de p^2 veremos que todos los exponentes son pares. Es que si no, no sería un cuadrado. Luego p^2 será de la forma (3^2)(7^2)(k^2) para poder ser cuadrado y múltiplo de 21.
Entonces p=3·7·k será múltiplo de 21
Volvemos a la igualdad anterior sustituyendo "p"
21·q^2 = (21·k)^2 = 21^2·k^2
Simplificando el primer y tercer miembro
q^2 = 21·k^2
Ahora es q^2 la que debe ser múltiplo de 21. Haciendo el mismo razonamiento que antes llegamos a la conclusión de que q es múltiplo de 21
Luego tenemos que "p" y "q" son múltiplos de 21, pero esto es contradictorio con la imposición de que eran primos entre sí ya que tienen el 21 por divisor común. Luego hemos llegado a una contradicción por suponer que raíz de 21 era racional y por lo tanto no lo es.
Eso es todo. Espero abértelo aclarado. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.