Demostración por contradicción

Todas las raíces cuadradas o de otro orden se demuestran de forma parecida y el resultado es contundente:

Toda raíz cuadrada de un número natural es racional si y solo si la raíz es un número natural exacto.

Pero no nos piden tanto sino demostrar un caso, el de raíz de 3.

Supongamos que raíz de 3 fuera un número racional

$$\begin{align}&\sqrt 3 = \frac pq\\ &3 = \frac{p^2}{q^2}\\ &3q^2=p^2\\ &\end{align}$$

Y esto es absurdo porque la descomposición en factores primos de un cuadrado tiene todos los exponentes pares.

Por eso la descomposición del numero de la derecha tendrá todos los exponentes de los factores primos pares salvo el del 3 mientras que el número de la derecha los tendrá todos pares. Luego la descomposición factores primos es distinta y como consecuencia los dos términos de la igualdad son distintos. Todo este absurdo parte de suponer que raíz de 3 es racional, luego raíz de 3 es irracional.

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Esa es la demostración que a mi me gusta, pero la que impera es otra más larga y difícil para mi entender.

En esta demostración se supone que p y q son primos entre si, no tienen ningún factor primo común.

Hemos llegado a 3q^2 = p^2

Entonces p^2 es múltiplo de 3

Pero si un cuadrado de un número entero es múltiplo de un número primo también debe serlo ese número entero

p^2 múltiplo de 3 <==> p = 3k

p^2 = 9k^3

Y la igualdad de arriba queda

3q^2 = 9k^2

q^2 = 3k^2

Con lo que q^2 es múltiplo de 3 y q también lo es por lo que decíamos arriba.

En resumen hemos llegado a que p y q son múltiplos de 3, pero esto es absurdo porque los habíamos elegido de forma que fueran primos entre si. Luego raíz de 3 no es racional.

Y eso es todo.