Aplicación de las derivadas en problemas

Quien puede hacer ese ejercicio.

Veamos la relación entre el área, radio y altura (o generatriz que dices).
A = 2 x (Area circulo base) + pared  
A = 2 x (Area circulo base) + (circunferencia base) x altura
A = 2pi·r^2 + 2pi·r·h 
donde pi es lo que se supone = 3,1415927..., h es la altura y r el radio.
El área total que nos dan nos servirá para relacionar las dos variables:
150 = 2pi·r^2 + 2pi·r·h
Lo más sencillo es despejar h
2pi·r·h = 150 - 2pi·r^2
h = (150 - 2pi·r^2) / (2pi·r) = (75 - pi·r^2) / pi·r = 75/(pi·r) - r                           [1]
Ahora vamos a ver la función del función del volumen, en primcipio depende de r y h.
V(r,h) = (Area círculo base) x altura = pi(r^2)h
Pero como habíamos despejado antes h (véase la igualdad marcada con [1]) podremos sustituirla
y nuestro volumen será función solo del radio:
V(r) = pi(r^2)(75/(pi·r) - r)  = 75r - pi·r^3
Ahora derivaremos e igaularemos a cero la función volumen para calcular los máximos, mínimos o lo que salga.
V'(r) = 75 - 3pi·r^2 = 0  ==>  3pi·r^2 = 75  ==>  r^2 = 25/pi  ==>
r = sqrt(25/pi) = sqrt(25/3,1415927) = sqrt(7,9577472) = 2,8209479 cm
No tiene sentido la respuesta con r la raíz cuadrada negativa y es intuitivo que esta va a ser un máximo relativo, pero lo comprobamos. Si la derivada segunda es negativa en ese punto, será un máximo:
V''(r) = - 6pi·r  que es negativa para el punto que estudiamos
Luego
r = 2,8209479 cm
h = 75/(pi·r) - r = 75/(3,1415927 · 2,8209479) - 2,8209479 =
= 75/8,8622692 - 2,8209479 = 8,4628438 - 2,8209479
h = 5,6418959 cm
Como curiosidad puede verse que la altura es dos veces el radio, o lo que es lo mismo,
la altura es igual al diámetro.
Y eso es todo. Espero que te haya servido y lo hallas entendido. No olvides puntuar y cerrar la pregunta. Si te ha gustado la resolución también puedes mandarme directamente los problemas.
Un saludo.
Ah, el otro problema lo resolveré más tarde que ahora tengo faenas inexcusables.