Deducir fórmulas geométricas
A)Deduce la fórmula del sector circular y de la corona circular
b) Deduce la fórmula del área de un cono
b) Deduce la fórmula del área de un cono
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
2
A1) La fórmula del sector circular es
Area Sector = PI(r^2) nº/360º
Donde n son los grados que tiene el sector.
Consiste en multiplicar la porción de círculo que ocupa el sector (nº/360º) por el área completa del circulo (PI(r^2)) y así obtenemos el área del sector.
Si n=360 la porción es 360º/360º = 1 y nos da el área el circulo completo
Si n=180 la porción es 180º/360º = 1/2 y la multiplicación nos dará la mitad del área delcirculo completo, tal como cabía esperar al ser un semicírculo.
Y así para cualquier n:
nº/360º es una función lineal directamente proporcional que nos da la cifra apropiada para calcular el área del sector de nº.
----------------
A2) La fórmula de la corona circular.
La corona circular es la parte de círculo comprendido entre dos circunferencias concéntricas. Se llama R a la de radio mayor y r a la de radio menor. La forma de hacerlo es calcular el área de la más grande y restarle la de la más pequeña, con lo que la fórmula es:
Area de la corona = PI·R^2 - PI·r^2 = PI(R^2 - r^2)
Con un dibujo se ve bien claro esto.
---------------
b) Área del cono.
En
http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29
Te habla del cono, volumen, área, etc.
Lo primero que he hecho al mira ahora es comprobar que me equivoqué en el problema que te mande sobre el área de un tronco de cono. Luego al final te lo mando bien hecho.
El Área del cono es
A = Area de la base + area lateral = PI(r^2) + PI·r·g
donde g = sqrt(h^2+r^2)
Yo tomé rápidamente g como la altura e hice mal el cálculo del área lateral.
Y te preguntarás, de dónde sale esta g, y por qué es esa la fórmula. Yo he mirado varias veces lo que dice y es muy escueto y no creo que esté nada claro. Como no me fio voy a hacer mis propios cálculos.
Entiendo lo del desarrollo plano del cono recto. Es cortar el "cucurucho" por un lado y aplanarlo.
Entiendo que eso da un sector circular y que su radio es sqrt(h^2+r^2) porque ese corresponde hipotenusa del triangulo rectángulo que tenía por catetos el radio y la altura.
Entiendo que el segmento circular asociado a ese sector mida la longitud la circunferencia base, es simplemente por la forma en que se construye el cono.
Pero que el ángulo sombreado sea 360(r/a) me parece que no lo ha sabido explicar.
Vamos a calcular qué parte del circulo es ese sector. Esa proporción es la misma que la de la longitud de segmento con la circunferencia con la cicunferncia total.
La longitud del segmento es la circunferencia base = 2·PI·r
La de la circunferencia total sería la de una de radio sqrt (h^2+r^2) = 2·PI·sqrt(h^2+r^2)
Proporción = 2·PI·r / [2·PI·sqrt(h^2+r^2)] = r / [sqrt(h^2+r^2)]
Aplicamos esta proporción para calcular el areá de sector
Area sector = PI·[sqrt(h^2+r^2)]^2·proporción = PI·(h2+r^2)·proporción =
PI·(h2+r^2)· r / sqrt(h^2+r^2) =PI·r·(h2+r^2)/sqrt(h^2+r^2)
Si racionalizas el denominador multiplicando la raíz por si misma en numerador y denominador te quedará
= Pi·r·sqrt(h^2+r^2)= PI·r·g
Que en efecto es el área lateral del cono que nos daban.
----------------
Voy a corregir ese ejercicio que te digo que hice mal.
Calcula el área y el volumen del solido generado por un trapecio de bases 4 m. y 12m. Sabiendo que uno de los lados no paralelos mide 5 metros. Y la altura mide 4 m.
Primero calculamos la diferencia de las áreas laterales de los conos que habíamos calculado. El cono total de radio 6 y altura 8 y el superior de radio 3 y altura 4
Area lateral del tronco de cono = PI·6·sqrt(6^2+8^2) - PI·3·sqrt(3^2+4^2) =
PI·6·sqrt(36+64) - PI·3·sqrt(9+16) =PI·6·sqrt(100) - PI·3·sqrt(25) =
PI·6·10 - PI·3·5 = 60PI -15PI = 45PI
A esto sumamos el aréa de la base y techo
Area total tronco de cono = 45PI + PI(6^2) + PI(3^2) = 45PI + 36PI + 9PI = 90 PI
Y con esto queda corregido antes qde que puedan decirte que está mal.
Area Sector = PI(r^2) nº/360º
Donde n son los grados que tiene el sector.
Consiste en multiplicar la porción de círculo que ocupa el sector (nº/360º) por el área completa del circulo (PI(r^2)) y así obtenemos el área del sector.
Si n=360 la porción es 360º/360º = 1 y nos da el área el circulo completo
Si n=180 la porción es 180º/360º = 1/2 y la multiplicación nos dará la mitad del área delcirculo completo, tal como cabía esperar al ser un semicírculo.
Y así para cualquier n:
nº/360º es una función lineal directamente proporcional que nos da la cifra apropiada para calcular el área del sector de nº.
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A2) La fórmula de la corona circular.
La corona circular es la parte de círculo comprendido entre dos circunferencias concéntricas. Se llama R a la de radio mayor y r a la de radio menor. La forma de hacerlo es calcular el área de la más grande y restarle la de la más pequeña, con lo que la fórmula es:
Area de la corona = PI·R^2 - PI·r^2 = PI(R^2 - r^2)
Con un dibujo se ve bien claro esto.
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b) Área del cono.
En
http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_%28geometr%C3%ADa%29
Te habla del cono, volumen, área, etc.
Lo primero que he hecho al mira ahora es comprobar que me equivoqué en el problema que te mande sobre el área de un tronco de cono. Luego al final te lo mando bien hecho.
El Área del cono es
A = Area de la base + area lateral = PI(r^2) + PI·r·g
donde g = sqrt(h^2+r^2)
Yo tomé rápidamente g como la altura e hice mal el cálculo del área lateral.
Y te preguntarás, de dónde sale esta g, y por qué es esa la fórmula. Yo he mirado varias veces lo que dice y es muy escueto y no creo que esté nada claro. Como no me fio voy a hacer mis propios cálculos.
Entiendo lo del desarrollo plano del cono recto. Es cortar el "cucurucho" por un lado y aplanarlo.
Entiendo que eso da un sector circular y que su radio es sqrt(h^2+r^2) porque ese corresponde hipotenusa del triangulo rectángulo que tenía por catetos el radio y la altura.
Entiendo que el segmento circular asociado a ese sector mida la longitud la circunferencia base, es simplemente por la forma en que se construye el cono.
Pero que el ángulo sombreado sea 360(r/a) me parece que no lo ha sabido explicar.
Vamos a calcular qué parte del circulo es ese sector. Esa proporción es la misma que la de la longitud de segmento con la circunferencia con la cicunferncia total.
La longitud del segmento es la circunferencia base = 2·PI·r
La de la circunferencia total sería la de una de radio sqrt (h^2+r^2) = 2·PI·sqrt(h^2+r^2)
Proporción = 2·PI·r / [2·PI·sqrt(h^2+r^2)] = r / [sqrt(h^2+r^2)]
Aplicamos esta proporción para calcular el areá de sector
Area sector = PI·[sqrt(h^2+r^2)]^2·proporción = PI·(h2+r^2)·proporción =
PI·(h2+r^2)· r / sqrt(h^2+r^2) =PI·r·(h2+r^2)/sqrt(h^2+r^2)
Si racionalizas el denominador multiplicando la raíz por si misma en numerador y denominador te quedará
= Pi·r·sqrt(h^2+r^2)= PI·r·g
Que en efecto es el área lateral del cono que nos daban.
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Voy a corregir ese ejercicio que te digo que hice mal.
Calcula el área y el volumen del solido generado por un trapecio de bases 4 m. y 12m. Sabiendo que uno de los lados no paralelos mide 5 metros. Y la altura mide 4 m.
Primero calculamos la diferencia de las áreas laterales de los conos que habíamos calculado. El cono total de radio 6 y altura 8 y el superior de radio 3 y altura 4
Area lateral del tronco de cono = PI·6·sqrt(6^2+8^2) - PI·3·sqrt(3^2+4^2) =
PI·6·sqrt(36+64) - PI·3·sqrt(9+16) =PI·6·sqrt(100) - PI·3·sqrt(25) =
PI·6·10 - PI·3·5 = 60PI -15PI = 45PI
A esto sumamos el aréa de la base y techo
Area total tronco de cono = 45PI + PI(6^2) + PI(3^2) = 45PI + 36PI + 9PI = 90 PI
Y con esto queda corregido antes qde que puedan decirte que está mal.
