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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El método es tan tremendamente complicado que no merece la pena. Ya nuestros antepasados usaban las tablas de logaritmos para calcular raíces cúbicas y superiores y hoy día se usan las calculadoras que van muy bien.
Alguna tarde de hace muchos años, cuando no tenía nada que hacer pensé en calcular el método de la raíz cúbica. Lo deduje, hice tres o cuatro ejemplos para probarlo y ahí quedó abandonado. Y eso que aún era manejable. ¡No quiero ni imaginarme cómo puede ser el de la raíz quinta!
Bueno, déjame que lo intente, pero la respuesta no puede ser inmediata. No cierres ni puntúes todavía, espera a que te de la solución o una señal de que aun sigo vivo y no he muerto en el intento pero que tengo que dejarlo por bien de mi salud mental.
Espera, que te adelanto por donde van los tiros. La raíz cuadrada de un número n se calcula por la casita haciendo sucesivas aproximaciones. La primera pongmos que son las centenas, luego las decenas, unidades y cuantos decimales queramos. Cuando ya se han calculado varias cifras estás forman un número a y queremos calcular la siguiente cifra. Entonces decimos que la siguiente cifra será una cifra por tal que
(10a+x)^2 <= n
desarrollando el binomio de Newton tenemos
100a^2 + 20ax + x^2 <= n
100a^2 + (20a+x)x <= n
(20a+x)x <= n - 100a^2
Ese n - 100a^2 es el resto, es algo que se va calculando sobre la marcha después de añadir cada cifra, por lo tanto tenemos que resolver una inecuación de la forma
(20a+x)x <= r
Ese 20a es el doble de la raíz calculada hasta entonces y multiplicada por 10, que por eso en la parte derecha vamos siempre poniendo el doble de lo de arriba, un espacio en blanco y un signo por y otro espacio blanco. Es esos espacios blancos irá la máxima cifra x que cumpla la inecuación (20a+x)x <= r
Una aproximación para por es la parte entera de r/20a pero algunas se pasa y debemos tomar una cifra menos.
Y ese es básicamente el algoritmo para la raíz cuadrada
Ahora para la quinta el mismo método sería:
(10a+x)^5 <= n
100000a^5 + 50000(a^4)x + 10000(a^3)(x^2) + 1000(a^2)(x^3) + 50a(x^4) + x^5 <= n
¡Ni en una línea cabe la inecuación!
Suponemos que ido calculando el resto tras cada paso y la expresión se reduce a algo así
50000(a^4)x + 10000(a^3)(x^2) + 1000(a^2)(x^3) + 50a(x^4) + x^5 <= r
Como puedes ver no es moco de pavo la expresión. Podemos intentar con
x = parte entera de r / [50000(a^4)]
Pero después hay que comprobar que se verifica toda esa inecuación para ese x.
Además tengo comprobado que esa aproximación excede muchas veces de 10, con lo que no aporta información y hay que probar con 9,8,7 hasta que se verifica la inecuación.
Una aproximación mejor sería:
x = parte entera de [- 500(a^3) +sqrt(25(a^6)+ 4ra)] / (200 a^2)
Donde sqrt es la raíz cuadrada. Pero fíjate que monstruosidad de cálculo es.
Vamos, que creo merece más la pena comprobar que (10a+x)^5 < n para x= 1,2,3,.. y el metodo de la casita ya no tiene nada que ver con el da la raiz cuadrada y tendremos que usar potentes calculadoras para las comprobaciones, que a ver quien es el guapo que se pone a elevar a la quinta unas pocas cifras.
Resumiendo: ¡Que es algo inhumano un método general de la casita para la raíz quinta!
Si que hay una curiosidad con las raíces quintas que tal vez te interese. Dice que si la raíz es un número natural exacto, entonces la ultima cifra de la raíz es la misma que la del radicando.
La demostración es una comprobación de congruencias módulo 10, que para el caso 10 significa que dos números son congruentes si tiene igual la última cifra decimal.
0^5 = 0
1^5 = 1
2^5 = 32
3^5 = 243
4^5 = 1024
5^5 = 3125
6^5 = 7776
7^5 = 16807
8^5 = 32768
9^5 = 59049
Las decenas, centenas y superiores al elevar a la quinta darán un mútiplo de 100000, luego solo la cifra de las unidades de la raíz interviene en la última del radicando.
Ejemplo: Yo te digo, porque lo he comprobrado, que 79235168 tiene raíz quinta exacta. ¿Cuál es?
Dividimos en grupos de 5 desde la derecha 792 y 35168
Calculamos la raíz quinta del primero. No ayudamos con la tabla que hice, vemos que 792 es mayor que 243 y menor que 1024 luego la primera cifra es 3.
Y sabemos que ya no hay más que otra cifra que es la de las unidades y como la raíz quinta es exact tiene que ser la ultima cifra de radicando que es 8. Luego la raíz quinta es 38. Inmediatamente cogemos la calculadora para ver si nos habían dicho la verdad y comprobamos que, efectivamente, 38^5 = 79235168
Es simplemente una curiosidad, no sirve para nada salvo que nos perjuren de antemano que la raíz es exacta y ayudaría un poco solo para raíces de dos cifras.
Y eso es todo. Es una pena pero algunas operaciones matemáticas se complican de forma más que exponencial. ¿Por qué nunca hemos aprendido a extraer raíces cúbicas, o soluciones de un polinomio de grado 3? Porque es inhumano.
Si que puedes puntuar para cerrar la pregunta, pensaba dejarla en el aire pero al final he contestado todo lo que he podido.
Alguna tarde de hace muchos años, cuando no tenía nada que hacer pensé en calcular el método de la raíz cúbica. Lo deduje, hice tres o cuatro ejemplos para probarlo y ahí quedó abandonado. Y eso que aún era manejable. ¡No quiero ni imaginarme cómo puede ser el de la raíz quinta!
Bueno, déjame que lo intente, pero la respuesta no puede ser inmediata. No cierres ni puntúes todavía, espera a que te de la solución o una señal de que aun sigo vivo y no he muerto en el intento pero que tengo que dejarlo por bien de mi salud mental.
Espera, que te adelanto por donde van los tiros. La raíz cuadrada de un número n se calcula por la casita haciendo sucesivas aproximaciones. La primera pongmos que son las centenas, luego las decenas, unidades y cuantos decimales queramos. Cuando ya se han calculado varias cifras estás forman un número a y queremos calcular la siguiente cifra. Entonces decimos que la siguiente cifra será una cifra por tal que
(10a+x)^2 <= n
desarrollando el binomio de Newton tenemos
100a^2 + 20ax + x^2 <= n
100a^2 + (20a+x)x <= n
(20a+x)x <= n - 100a^2
Ese n - 100a^2 es el resto, es algo que se va calculando sobre la marcha después de añadir cada cifra, por lo tanto tenemos que resolver una inecuación de la forma
(20a+x)x <= r
Ese 20a es el doble de la raíz calculada hasta entonces y multiplicada por 10, que por eso en la parte derecha vamos siempre poniendo el doble de lo de arriba, un espacio en blanco y un signo por y otro espacio blanco. Es esos espacios blancos irá la máxima cifra x que cumpla la inecuación (20a+x)x <= r
Una aproximación para por es la parte entera de r/20a pero algunas se pasa y debemos tomar una cifra menos.
Y ese es básicamente el algoritmo para la raíz cuadrada
Ahora para la quinta el mismo método sería:
(10a+x)^5 <= n
100000a^5 + 50000(a^4)x + 10000(a^3)(x^2) + 1000(a^2)(x^3) + 50a(x^4) + x^5 <= n
¡Ni en una línea cabe la inecuación!
Suponemos que ido calculando el resto tras cada paso y la expresión se reduce a algo así
50000(a^4)x + 10000(a^3)(x^2) + 1000(a^2)(x^3) + 50a(x^4) + x^5 <= r
Como puedes ver no es moco de pavo la expresión. Podemos intentar con
x = parte entera de r / [50000(a^4)]
Pero después hay que comprobar que se verifica toda esa inecuación para ese x.
Además tengo comprobado que esa aproximación excede muchas veces de 10, con lo que no aporta información y hay que probar con 9,8,7 hasta que se verifica la inecuación.
Una aproximación mejor sería:
x = parte entera de [- 500(a^3) +sqrt(25(a^6)+ 4ra)] / (200 a^2)
Donde sqrt es la raíz cuadrada. Pero fíjate que monstruosidad de cálculo es.
Vamos, que creo merece más la pena comprobar que (10a+x)^5 < n para x= 1,2,3,.. y el metodo de la casita ya no tiene nada que ver con el da la raiz cuadrada y tendremos que usar potentes calculadoras para las comprobaciones, que a ver quien es el guapo que se pone a elevar a la quinta unas pocas cifras.
Resumiendo: ¡Que es algo inhumano un método general de la casita para la raíz quinta!
Si que hay una curiosidad con las raíces quintas que tal vez te interese. Dice que si la raíz es un número natural exacto, entonces la ultima cifra de la raíz es la misma que la del radicando.
La demostración es una comprobación de congruencias módulo 10, que para el caso 10 significa que dos números son congruentes si tiene igual la última cifra decimal.
0^5 = 0
1^5 = 1
2^5 = 32
3^5 = 243
4^5 = 1024
5^5 = 3125
6^5 = 7776
7^5 = 16807
8^5 = 32768
9^5 = 59049
Las decenas, centenas y superiores al elevar a la quinta darán un mútiplo de 100000, luego solo la cifra de las unidades de la raíz interviene en la última del radicando.
Ejemplo: Yo te digo, porque lo he comprobrado, que 79235168 tiene raíz quinta exacta. ¿Cuál es?
Dividimos en grupos de 5 desde la derecha 792 y 35168
Calculamos la raíz quinta del primero. No ayudamos con la tabla que hice, vemos que 792 es mayor que 243 y menor que 1024 luego la primera cifra es 3.
Y sabemos que ya no hay más que otra cifra que es la de las unidades y como la raíz quinta es exact tiene que ser la ultima cifra de radicando que es 8. Luego la raíz quinta es 38. Inmediatamente cogemos la calculadora para ver si nos habían dicho la verdad y comprobamos que, efectivamente, 38^5 = 79235168
Es simplemente una curiosidad, no sirve para nada salvo que nos perjuren de antemano que la raíz es exacta y ayudaría un poco solo para raíces de dos cifras.
Y eso es todo. Es una pena pero algunas operaciones matemáticas se complican de forma más que exponencial. ¿Por qué nunca hemos aprendido a extraer raíces cúbicas, o soluciones de un polinomio de grado 3? Porque es inhumano.
Si que puedes puntuar para cerrar la pregunta, pensaba dejarla en el aire pero al final he contestado todo lo que he podido.
