¿Checa esto?
Unhombre tenia un mono al que le gustaba mucho los cacahuetes . Todas las mañanas el hombre, le obsequiaba con 100 cacahuetes
Durante la jornada el mono se comía la mitan de los que tenia y guaradaba la otra mitad por si al día siguiente no le ponían más .
Cada día se encontraba con 100 cacahuetes más porla mañana, y cada día se comía la mitad
Asi sucedio trás dia , semana tras semana , mes tras mes y año tras año
Un buen día el mono contó por la noche los cacahuetes que había guardado .
¿Cuántos tenia?
Durante la jornada el mono se comía la mitan de los que tenia y guaradaba la otra mitad por si al día siguiente no le ponían más .
Cada día se encontraba con 100 cacahuetes más porla mañana, y cada día se comía la mitad
Asi sucedio trás dia , semana tras semana , mes tras mes y año tras año
Un buen día el mono contó por la noche los cacahuetes que había guardado .
¿Cuántos tenia?
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Así a bote pronto se me ocurren tres formas de resolver el problema, una de ellas de una forma conceptual y otras dos formas más matemáticas
1º FORMA
Evidentemente, el mono tiene cada día más cacahuetes, y la única forma que el número no crezca indefinidamente hasta el infinito es encontrar un punto de equilibrio. Esto se conseguirá cuando el mono coma tantos cacahutes como le den, de forma que los que tiene guardados ya no aumenten más. ¿Cuándo ocurrirá eso? Pues cuando tenga 100 cacahutes, exactamente los mismo que recibe. A la mañana siguiente recibe 100 más, con lo que tendrá 200, de los que comerá la mitad, o sea 100, y volverá a tener 100, con lo cual al día siguiente se repetirá la operación y seguirá teniendo 100 todas las noches.
2º forma: progresiones geométricas
Dia1: recibe 100 y come 50
Noche1: 50
Dia2: recibe 100, tiene 150 y come 75
noche2: 75 = 50 + 25
dia3: recibe 100, tiene 175 y come 87.5
noche2: 87.5 = 50 + 25 +12.5
dia4: recibe 100, tiene 187.5 y come 93.75
noche4: 93.75 = 50 + 25 + 12.5 + 6.25
Es decir al cabo de muchas noches tendrá
50 + 25 + 12.5 + 6.25 + ....
Esto es la suma de lo0s infinitos términos de una progresion geométrica
(50,25,12.5,6.25,....)
de razón r = 1/2
La suma de los infinitos términos de una P.G de razo´n menor que 1 es
S =a1/(1-r)
En este caso
a1 = 50
r = 1/2
S = a1/(1-r) = 50/(1-1/2) = 50/(1/2) = 100
3º FORMA: SUCESIONES
Cada día recibe 100 y come la mitad, con lo que cada noche tendrá la mitad de la suma de la noche anterior más 100, luego podemos formar una sucesión de la forma
a[n+1] = (a[n]+100)/2 = a[n]/2 + 50
Calculando el límite cuando n tiende a infinito, y teniendo en cuenta que
lim a[n+1] = lim a[n] = S
tendremos
lim a[n+1] = lim a[n]/2 + lim 50
S = S/2 + 50
S - S/2 = 50
S/2 = 50
S = 100
1º FORMA
Evidentemente, el mono tiene cada día más cacahuetes, y la única forma que el número no crezca indefinidamente hasta el infinito es encontrar un punto de equilibrio. Esto se conseguirá cuando el mono coma tantos cacahutes como le den, de forma que los que tiene guardados ya no aumenten más. ¿Cuándo ocurrirá eso? Pues cuando tenga 100 cacahutes, exactamente los mismo que recibe. A la mañana siguiente recibe 100 más, con lo que tendrá 200, de los que comerá la mitad, o sea 100, y volverá a tener 100, con lo cual al día siguiente se repetirá la operación y seguirá teniendo 100 todas las noches.
2º forma: progresiones geométricas
Dia1: recibe 100 y come 50
Noche1: 50
Dia2: recibe 100, tiene 150 y come 75
noche2: 75 = 50 + 25
dia3: recibe 100, tiene 175 y come 87.5
noche2: 87.5 = 50 + 25 +12.5
dia4: recibe 100, tiene 187.5 y come 93.75
noche4: 93.75 = 50 + 25 + 12.5 + 6.25
Es decir al cabo de muchas noches tendrá
50 + 25 + 12.5 + 6.25 + ....
Esto es la suma de lo0s infinitos términos de una progresion geométrica
(50,25,12.5,6.25,....)
de razón r = 1/2
La suma de los infinitos términos de una P.G de razo´n menor que 1 es
S =a1/(1-r)
En este caso
a1 = 50
r = 1/2
S = a1/(1-r) = 50/(1-1/2) = 50/(1/2) = 100
3º FORMA: SUCESIONES
Cada día recibe 100 y come la mitad, con lo que cada noche tendrá la mitad de la suma de la noche anterior más 100, luego podemos formar una sucesión de la forma
a[n+1] = (a[n]+100)/2 = a[n]/2 + 50
Calculando el límite cuando n tiende a infinito, y teniendo en cuenta que
lim a[n+1] = lim a[n] = S
tendremos
lim a[n+1] = lim a[n]/2 + lim 50
S = S/2 + 50
S - S/2 = 50
S/2 = 50
S = 100
